Tudna segíteni valaki ezekben a mértani és számtani vegyes feladatokban?

Fel kell írni sorban mindent, amit szövegesen információt kapunk, egyenlettel.

Első 5 tag összege 25:

a + a+d + a+2d + a+3d + a+4d = 25

(Mivel a számtani sorozat első 5 tagja a, a+d, a+2d, stb.)

Első, második meg ötödik mértani:

(a = a az első elemek)

a+d = a·q

a+4d = a·q²

(Mivel a mértani sorozat egy tagja az előző tag q-szorosa)

Lett 3 egyenlet, benne 3 ismeretlen (a, d és q), ezt kell megoldnai.

Oldd meg, és próbáld meg a másikat is hasonló elvek szerint felírni. Sólj, ha elakadsz.

a)

A sorozat elso eleme a, a differenciaja d.

Az elso 5 tag osszege:

5a+10d = 25

a+2d=5

Az 1. 2.es 5. tagok mertani sorozatot alkotnak:

(a+d)/a = (a+4d)/(a+d)

(a+d)(a+d)=a(a+4d)

aa +2ad +dd = aa +4ad

dd=2ad

1) ha d = 0

akkor a =5, a sorozat pedig: an=5

2) ha d ≠ 0 ,akkor

dd = 2ad ; lehet d-vel osztani:

d=2a

Ezt visszahelyettesitve az

a+2d=5 egyenletbe:

a+4a=5

a=1

d=2

an= 1+2(n-1)

"Az első, második és ötödik tag egy mértani sorozat egymást követő tagjai."

Vagyis:

- A számtani első tagja meg fog egyezni a mértani első tagjával, itt nem kell semmit sem külön felírni (ezért írtam zárójelben, hogy a=a)

- A számtani második tagja megegyezik a mértani második tagjával:

számtani 2. tag: a+d

mértani 2. tag: a·q

egyenlőek: a+d = a·q <--- ezt kell felírni

- A számtani ötödik tagja megegyezik a mértani harmadik tagjával:

számtani 5. tag: a+4d

mértani 3. tag: a·q²

egyenlőek: a+4d = a·q² <--- ezt kell felírni

Érted idáig?

Ez után már csak simán meg kell oldani az egyenletrendszert, az megy?

b)

A mertani sorozat elso harom tagja: a, aq, aqq

a+aq+aqq=26

a(qq + q + 1)=26

nyilvan sem a sem qq+q+1 nem lehet 0,

vagyis

a = 26/(qq + q + 1)

a+1, aq+6, aqq+3 szamtani sorozat,

Ket szomszedos elem kulonbsege a sorozat differenciaja, amit szamithatunk ugy is, hogy a masodik elembol kivonjuk az elsot, es ugy is, hogy a harmadikbol a masodikat.

Ez egy ujabb egyenletet ad:

(aq+6)-(a+1) = (aqq+3)-(aq+6)

aq - a + 5 = aqq - aq - 3

aqq -2aq + a = 8

(qq -2q +1)*a = 8

Viszont azt mar lattuk, hogy: a = 26/(qq + q + 1)

(qq - 2q +1) * 26/(qq + q + 1) =8

26qq - 52q + 26 = 8qq + 8q + 8

18qq - 60q + 18 = 0

qq - 5q + 1 = 0

Ez egy maodfoku egyenlet, amit megoldva megkapod q-t,

es visszahelyettesitve ide:

a = 26/(qq + q + 1)

megkapod a-t.

Masodfoku egyenlet leven ket q-t es mindegyikhez egy kulon a-t kellene kapnod.

az a) feladat mertani sorozatos reszet igy is csinalhatod:

a sorozat 1. eleme: a

2. eleme: a+d

5. eleme: a+4d

ezek alkotnak mertani sorozatot.

A mertani sorozat kocienset ket egymas utani elem hanyadosakent ehet megkapni:

Tehat (a+4d)/(a+d) is a kociens lesz

meg (a+d)/a is a kociens lesz.

Akkor viszont ezek egyenloek egymassal:

(a+4d)/(a+d) = (a+d)/a

Megszorozva mindket oldalt a-val:

a(a+4d)/(a+d) = (a+d)

Megszorozva mindket oldalt a+d -vel

a(a+4d) = (a+d)(a+d)

ezutan fel kell bontani a zarojelet:

aa + 4ad = aa + 2ad + dd

2ad = dd

Innen celszeru ket esetet kulon vizsgalni:

1) ha d =0,

2) ha d nem 0, akkor lehet vele osztani:

2a = d

vagyis d = 2a

Mindket esetben tudsz valamit d-rol.Ezt be kell helyettesiteni az megoldas elso felebol kapott egyenletbe,

es tudni fogod mi az a.

Szóval akkor nem is a sorozatokkal van a bajod, hanem az egyenletrendszer megoldással.

Amit BKRS írt, az is jó persze, de menjünk inkább egyszerűen.

Ez az egyenletrendszer:

5a + 10d = 25

a+d = a·q

a+4d = a·q²

Van 3 egyenlet és 3 ismeretlen. Az a cél, hogy egy-egy lépés után mindig eggyel kevesebb ismeretlen és eggyel kevesebb egyenlet legyen.

1. lépés:

A 'q' csak két helyen fordul elő, kezdjük mondjuk azzal. (Lehetne bármi mással is...)

A 2. egyenletből kifejezzük q-t:

(1) q = (a+d)/a

Ezt az egyenletet jól meg is jelöljük valahogy, én úgy, hogy elé írtam (1)-et, majd kell még.

Aztán q-t behelyettesítjük mindenhová, ahol előfordul, most ez csak a harmadik egyenlet:

a+4d = a·(a+d)²/a²

Ezzel el is tüntettük a q-t, a két utolsó egyenlet helyett lett ez az egy. (Az első továbbra is megvan). Alakítsuk ezt tovább:

a+4d = (a+d)²/a

a(a+4d) = (a+d)²

a² + 4ad = a² + 2ad + d²

2ad = d²

Most d-vel érdemes osztani, de ilyenkor mindig meg kell nézni azt, hogy mi van, ha d éppen nulla (mert hát 0-val nem szabad osztani, de attól még lehet nulla is esetleg)

Ha d=0, akkor ez lesz az eredeti első egyenlet:

5a + 10·0 = 25

a = 5

Vagyis ez egy olyan számtani sorozat, aminek minden tagja 5. És igen, ez mértani sorozatnak is jó, ilyenkor q=1.

Ez az egyik megoldás!!!!!

Most már megoldhatjuk azt a részt is, amikor d nem nulla volt. Itt tartottunk:

2ad = d²

Ekkor oszthatunk d-vel:

2a = d

Ezzel vége az első egyenletrendszermegoldó lépésnek, ugyanis eltüntettük a q-t és a legegyszerűbb formába hoztuk a megmaradt egyenleteinket. Ez a kettő maradt:

5a + 10d = 25

2a = d

2. lépés: Most a második egyenletből érdemes kifejezni d-t, hiszen ahhoz nem is kell semmit sem csinálni:

(2) d = 2a

Ezt az egyenletet is jól megjelöljük valahogy, majd kell még. (Én (2)-nek jelöltem)

Aztán a jobb oldalt berakjuk az elsőbe mindenhová, ahol 'd' van:

5a + 10·(2a) = 25

Ezzel eltüntettük a d ismeretlent, lett 1 egyenletünk 1 ismeretlennel. Persze még egyszerűsítenünk kell:

25a = 25

a = 1

Ez lesz majd a második megoldás. Már megvan 'a' értéke, visszafelé menve meg kell találni 'd' valamint 'q' értékét is. Erre kellenek a (2) meg (1) megjelölt egyenletek:

A (2)-ből (d=2a) kijön d:

d = 2

Az (1)-ből pedig q:

q = (a+d)/a

q = (1+2)/1

q = 3

Most van kész az egyenletrendszer megoldása:

a=1, d=2, q=3

(Ennél a feladatnál q-t nem kérdezték, de nem baj...)

Így tiszta?

a.) feladat

Számtani sorozat első 5 tagja

a1, a2, a3, a4, a5

ezek összege

S5 = 25

A mértani sorozat három tagja

m1, m2, m3

A feladat szerint

m1 = a1

m2 = a2

m3 = a5

Ha páratlan tagszámú számtani sorozatról van szó és az összege is adott, akkor könnyebben is el lehet indulni.

Mégpedig úgy, hogy a középső taghoz viszonyítva írod fel a tagokat.

Esetünkben a számtani sorozat

a1, a2, a3, a4, a5

Így írható

a1 = a3 - 2d

a2 = a3 - d

a3 = a3

a4 = a3 + d

a5 = a3 + 2d

Ha ezen kifejezéseket összeadod, a bal oldalon a megadott sorösszeg lesz, a jobb oldalon pedig csak az a3 marad, mert a d-s tagok kiesnek.

Vagyis

25 = 5*a3

ebből

a3 = 5

=====

Tovább lépni a mértani sor azon tulajdonságának felhasználásával lehet, miszerint a második tagtól kezdve egy tag egyenlő az őt előző és követő tagok mértani közepével.

Vagyis

m2² = m1*m3

A mértani sort a számtani sor értékeivel felírva

m1 = a1 = a3 - 2d

m2 = a2 = a3 - d

m3 = a5 = a3 + 2d

ezeket az előző képletbe behelyettesítve

m2² = m1*m3

(a3 - d)² = (a3 - 2d)(a3 + 2d)

A műveleteket elvégezve, összevonva lesz

5d² - 2*a3*d = 0

d-t kiemelve

d(5d - 2*a3) = 0

a3 értékét behelyettesítve

d(5d - 10) = 0

A szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.

Eszerint

1.)

Ha d = 0

akkor a számtani sor 5, 5, 5, 5, 5

2.)

Ha d ≠ 0

akkor

5d = 10

d = 2

====

így a számtani sor: 1, 3, 5, 7, 9

*******************************************

b.) feladat

b)Egy mértani sorozat első három tagjának összege 26. Ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 6-ot, a harmadikhoz 3-at adunk, egy számtani sorozat egymást követő tagjaihoz jutunk. Határozza meg a mértani sorozatot!

Mértani sor

m1, m2, m3

m1 = m1

m2 = m1*q

m3 = m1*q²

ezek összege

S3 = 26

A számtani sor tagjai

a1 = m1 + 1

a2 = m2 + 6

a3 = m3 + 3

A mértani sor összegének ismeretében írható

S3 = m1 + m2 + m3

26 = m1(1 + q + q²) - az m1-et kiemelve

Egy másik összefüggést a számtani sor azon tulajdonságának felhasználásával kaphatunk, miszerint a szomszédos tagok különbsége állandó, egyenlő a sorra jellemző differenciával (d).

Eszerint írható

a2 - a1 = a3 - a2

(m2 + 6) - (m + 1) = (m3 + 3) - (m2 + 6)

Összevonás után

m1 - 2*m2 + m3 = 0

ill.

m1 - 2*m1*q + m1*q² = 0

m1-t kiemelve

(A) m1(1 - 2q + q²) = 8

Ehhez hozzávéve a sorösszegből adódott képletet

(B) m1(1 + q + q²) = 26

kapunk egy könnyen megoldható egyenletrendszert

A második egyenletet elosztva az elsővel

(1 + q + q²)/(1 - 2q + q²) = 13/4

A műveletek elvégzése és összevonás, egyszerűsítés után marad a

3q² - 10q + 3 = 0

másodfokú egyenlet

A két gyök

q1 = 3

q2 = 1/3

Az m1 értékét a (A) vagy (B) egyenletbe behelyettesítve kapod meg.

q = 3 --> m1 = 2

q = 1/3 --> m1 = 18

DeeDee

*************