Hogyan kell bebizonyitani?

Hányadikos vagy? Nem tudom elemi módszerekkel bebizonyítani, csak kicsit "csúnyábban".

Teljesen szimmetrikus minden, tehát feltehetjük, hogy:

a ≥ b ≥ c

Legyen x=a/b, y=b/c. Mindkettő ≥ 1

c/a = 1/(xy)

Ezekkel az egyenlőtlenség:

a²x + b²y + c²/(xy) ≥ a²+b²+c²

a²(x-1)+b²(y-1)+c²(1/(xy)-1) ≥ 0

Mivel a=xy·c és b=y·c:

c²(x²y²(x-1)+y²(y-1)+1/(xy)-1) ≥ 0

Mivel x,y és c is pozitív, beszorozhatunk xy/c²-tel:

x³y³(x-1)+xy³(y-1)+1-xy ≥ 0

Az egyértelmű, hogy ez a függvény x=y=1 esetén 0 lesz (vagyis amikor a=b=c). Kérdés, hogy x>1 és y>1 esetén pozitív-e?

A függvény: F(x,y) = x⁴y³-x³y³+xy⁴-xy³-xy+1

Deriváljuk ezt parciálisan x illetve y szerint is:

∂F/∂x = 4x³y³-3x²y³+y⁴-y³-y

∂F/∂y = 3x⁴y²-3x³y²+4xy³-3xy²-x

x=y=1 esetén a deriváltak értéke 0, tehát ott lokális szélsőértéke van a függvénynek. Lássuk be, hogy x,y>1 esetén a függvény növekszik (deriváltak > 0):

∂F/∂x = y(y³+y²(4x³-3x²-1)-1)

4x³-3x²-1 pozitív, mivel x>1

y³-1 szintén pozitív, mivel y>1

tehát az x szerinti derivált pozitív.

∂F/∂y = x(4y³-3y²+3y²(x³-x²)-1)

x³-x² pozitív, mivel x>1

4y³-3y² > 1, mivel y>1

vagyis az y szerinti derivált is pozitív.

Kész.

Más is feltette tegnap ezt a kérdést, és végül ott (BKRS-sel összedolgozva) sikerült kihozni egy jóval egyszerűbb megoldást. Nézd meg:

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..