Hogyan kell megoldani ezt a matek feladatot?

(x+i)^10 = i(x-1)^10

(x+i)^10 - i(x-1)^10 =0

(cos(Pi/20) + i*sin(Pi/20))^10 = i

(x+i)^10 - ((cos(Pi/20) + i*sin(Pi/20))x -(cos(Pi/20) + i*sin(Pi/20)))^10 = 0

A^10 - B^10 = (A-B)(A^9 + A^8*B+...+A*B^8 + B^9)

aminek A=B gyoke, meg meg van 9 gyoke.

mindenesetre egy gyok:

x+i = (cos(Pi/20) + i*sin(Pi/20))x -(cos(Pi/20) + i*sin(Pi/20))

x*(1-cos(Pi/20) - i*sin(Pi/20)) = -cos(Pi/20) - i*(sin(Pi/20)+1)

x=(cos(Pi/20) + i*(sin(Pi/20)+1)) / (-1+cos(Pi/20) + i*sin(Pi/20))

(-1+cos(Pi/20) - i*sin(Pi/20))/(-1+cos(Pi/20) - i*sin(Pi/20)) -vel szorozva,

es kiszamolva a cos es sin dolgokat vegul az jon ki, ha jol szamoltam,

hogy x=6.85310237 - 6.85310237*i egy megoldas.

Hat, attol fugg.

aaz i a kerdesben az ugye (-1)^1/2 ?

megsejtheted pl,

hogy

x=(1-i) - (-1)^3/4 az gyokoknek egy halmaza (4 db gyok)

aztan

x=(1-i)+ (-1)^3/4 az masik 4 gyokot ad.

Az eddig 8 gyok,

meg van az a 2 amit irtam.

(x+i)^10 = i(x-1)^10

((x+i)/(x-1) )^10 = i

Vagyis az i 10. gyokei lesz az

(x+i)/(x-1)

10. gyokbol itt 10 db lesz

i = e^(i*(Pi/2+2k*Pi))

ennek megfeleloen a 10. gyokei i-nek:

e^(i*(Pi/20 +k*Pi/5) ) alaku szamok.

Vagyis

a = cos(Pi/20+ k*Pi/5) + i*sin(Pi/20 + k*Pi/5)

alaku szamok

(x+i)/(x-1) = a

x+i = (x-1)a

x(1-a) = -1-i

x = (1+i)/(a-1)

es akkor itt most visszahelyettesitheted a-t ha akarod,

mindenesetre ez mar egyertelmuen megadja a gyokoket.