Egy derékszögű háromszög oldalainak hosszúságai számtani sorozatot alkotnak. A legrövidebb és a leghosszabb oldal hosszának szorzata 60. Mekkorák a szögei?

a, b, c számtani sorozat: a, a+d, a+2d

a²+b²=c²

a·c=60

-----

a² + (a+d)² = (a+2d)²

a(a+2d) = 60

Ebből az egyenletrendszerből ki tudod számolni a-t és d-t, próbáld meg.

Ennyit tudunk:

a≤b<c

a^2+b^2=c^2 (derekszogu haromszog)

b/a = c/b (mertani sorozat)

ac = 60

A 3. sorbol:

b^2 = ac

b^2 = 60

b=√60

a^2 + 60 = c^2

ac = 60

a=60/c

3600/c^2 + 60 = c^2

c^4 - 60c^2 -3600 = 0

(ebbol c^2 meghatarozhato masodfoku megoldokeplettel, amibol c szinten meghatarozhato,

a=60/c -be helyettesitve c erteket, megkapod a-t.

Ennyit tudunk:

a≤b<c

a^2+b^2=c^2 (derekszogu haromszog)

b-a = c-b (szamtani sorozat)

ac = 60

2b = a+c

4a^2 + 4b^2 = 4c^2

4a^2 + (a+c)^2 = 4c^2

5a^2 + 2ac = 3c^2

5a^2 + 120 = 3c^2

a=60/c

5*3600/c^2 + 120 = 3c^2

3c^4 -120 c^2 -5*3600 = 0

szorzatta irva:

3(x-10)(c+10)(c^2+60) = 0

vagyis c = 10

a=a

b=8

c=10, a =6, b=8

ebbol ki tudod szamolni a szogeket? szogfuggvenyekrol tanultal?

Adott

a, b, c - a háromszög oldalai (számtani sor)

a*c = 60

A háromszög szögei = ?

Ha feltesszük, hogy

a<b<c

akkor az oldalakat így is fel lehet írni

a = b - d

b = b

c = b + d

ahol 'd' a sorozat differenciája

Az adatok alapján a két felírható összefüggés

a*c = 60

(b - d)(b + d) = 60

b² - d² = 60

és a Pithagorasz tétel szerint

a² + b² = c²

vagyis

(b - d)² + b² = (b + d)²

Átrendezve

b² = (b + d)² - (b - d)²

A négyzetre emelés helyett lehet alkalmazni az egyik nevezetes azonosságot, mégpedig

x² - y² = (x - y)(x + y)

Eszerint

(b + d)² - (b - d)² = (b + d - b + d)(b + d + b - d)

A jobb oldal: 2d*2b = 4bd

vagyis

b² = 4bd

egyszerűsítés után

b = 4d

Ezt a

b² - d² = 60

egyenletbe helyettesítve

16d² - d² = 60

15d² = 60

d² = 4

és

d = ±2

Ezzel az oldalak

a = 6 (10)

b = 8

c = 10 (6)

Zárójelben a d = -2 höz tartozó értékek.

Miután az oldalak ismertek, a szögeket ízlés szerinti szögfüggvénnyel ki lehet számítani.

Van egy más gondolatmeneten alapuló megoldás is

Vegyük a

b² - d² = 60

egyenletet.

Minden szám felírható két négyzetszám különbségeként.

A bal oldalt másképp felírva

(b + d)(b - d) = 60

A bal oldal két szorzótényezőjéhez a jobb oldalon is keresni kell ilyeneket. Úgynevezett komplementer osztókat, azaz olyanokat, melyeknek szorzata a számot adja.

Legyenek ezek: p, q

így

(b + d)(b - d) = p*q

Ekkor írható

b + d = p

b - d = q

A két egyenletet összeadva

2b = p + q

amiből

b = (p + q)/2

A két egyenletet kivonva egymásból

2d = p - q

ebből

d = (p - q)/2

Mik lehetnek a p és q értékei?

A képletekből látható, hogy azonos paritásúaknak kell lenniük: vagy mindkettő páros vagy mindkettő páratlan kell legyen.

Ha egész szám megoldást keresünk, akkor a szóba jöhető értékek:

p q

60 1

30 2

20 3

15 4

12 5

10 6

A paritásra előírt feltételnek csak a

p = 30

q = 2

és a

p = 10

q = 6

párok felelnek meg

p = 30 és q = 2 esetén

b = (p + q)/2

b = 16

d = (p - q)/2

d = 14

A háromszög oldalai

2, 16, 30

A jónak tűnő megoldás mégis rossz, mert az oldalhosszak nem felelnek meg a háromszög egyenlőtlenségnek

p = 10 és q = 6 esetén

b = 8

d = 2

ekkor a háromszög oldalai

a = 6

b = 8

c = 10

Ez a jó megoldás!

Bocs a hosszú fejtegetésért, de kedvem volt leírni. :-)

DeeDee

************