Hol a hiba? Ez a jó képlet, vagy valami más?

Nézd meg esetleg ezt az oldalt:

[link]

Nem kell a nevezőbe a 2, úgy van az igazi képlet.

Teljes indukcióval nem próbáltam, de komplex számkörbe átmenve kijött nekem a képlet. Nem tudom, tanultatok-e már olyat, az se baj, ha nem, csak érdekességképpen leírom, hátha másnak az kell majd. Ha teljesen ismeretlenek a komplex számok, akkor ne olvasd el.

Az Euler formula szerint e^(ix) = cos x + i·sin x (ahol i persze √-1). Ebből:

A képzetes rész tehát maga a szinusz:

(1) sin x = Im(e^(ix))

valamint ez az összefüggés is ismert:

(2) sin x = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i)

A keresett összeg k=1-től n-ig:

Σ sin kx = Σ Im(e^(ikx)) = Im(Σ e^(ikx))

Az Im()-en belüli szummát nevezzük Sn-nek:

Sn = Σ e^(ikx) = Σ e^(ix)^k

Ez egy mértani sor, aminek kóciense q=e^(ix). A sor összege ez lesz:

Sn = q·(q^n - 1)/(q - 1)

Sn = e^(ix)·(e^(inx) - 1)/(e^(ix) - 1)

Egy kis átalakítás a számlálón meg a kevezőn. A közös formula, ahol k értéke vagy 1, vagy n:

Mk = e^(ikx) - 1

1 helyébe írjuk be a következő hányadost:

1 = e^(ikx/2) / e^(ikx/2)

Mk = e^(ikx/2)·(e^(ikx/2) - 1/e^(ikx/2))

Mk = e^(ikx/2)·(e^(ikx/2) - e^(-ikx/2))

A második, zárójeles tényezőt összevetve (2)-vel ez jön ki:

Mk = e^(ikx/2)·2i·sin(kx/2)

Tehát:

Sn = e^(ix)·(e^(inx/2)·2i·sin(nx/2))/(e^(ix/2)·2i·sin(x/2))

Sn = e^(ix)·e^(i(n-1)x/2)·sin(nx/2)/sin(x/2)

Sn = e^(i(n+1)x/2)·sin(nx/2)/sin(x/2)

A keresett összeg Im(Sn), ami (1) miatt:

sin((n+1)x/2)·sin(nx/2)/sin(x/2)

--

Persze a feladatod teljes indukciós bizonyítás. Próbáld meg újra, ha nem megy, belegondolok én is.

Teljes indukcióval a bizonyítás:

n=1-re igaz.

(n-1)-re feltesszük, hogy

S(n-1) = sin(nx/2)·sin((n-1)x/2)/sin(x/2)

n-re:

S(n) = S(n-1) + sin(nx)

sin(nx) = 2·sin(nx/2)·cos(nx/2)

S(n) = sin(nx/2)·( sin((n-1)x/2)/sin(x/2) + 2·cos(nx/2) )

= sin(nx/2)·( sin((n-1)x/2) + 2·cos(nx/2)·sin(x/2) ) / sin(x/2)

A középső zárójeles tényezőről kellene kimutatni, hogy sin((n+1)x/2):

sin((n-1)x/2) + 2·cos(nx/2)·sin(x/2) ≟ sin((n+1)x/2)

2·cos(nx/2)·sin(x/2) ≟ sin((n+1)x/2) - sin((n-1)x/2)

Alakítsuk át csak a jobb oldalt:

sin((n+1)x/2) - sin((n-1)x/2)

= sin(nx/2+x/2) - sin(nx/2-x/2)

= (sin(nx/2)cos(x/2) + cos(nx/2)sin(x/2))-(sin(nx/2)cos(x/2) - cos(nx/2)sin(x/2))

= cos(nx/2)sin(x/2) + cos(nx/2)sin(x/2)

Ami tényleg 2·cos(nx/2)·sin(x/2)

∎