Egy háromszög területe 4920 négyzetcentiméter és két oldalának szorzata a*b= 10324 négyzetcentiméter. Az a oldallal szemközti szöge 64, 01. Határozzuk meg a háromszög oldalait és az ismeretlen szögeit?

T=a*b*sin(C)=4920

ab = 10324

sin(C) = 4920/10324 = 0.476559473

C = 28.46

A = 64.01

B = 180 -28.46 - 64.01 = 87.53

A szogek tehat megvannak. meg az oldalak kellenek.

A/B = sin(A)/sin(B) = sin(64.01 degree) / sin(87.53 degree) = 0.899706439

ab = 10324

a/b * b^2 = 10324

0.899706439 * b^2 = 10324

b^2 = 11 474.854

b = 107.120745

a = 10324/B = 96.3772237

c= sin(C)a/sin(A) = sin(28.46 degree)*96.3772237/sin(64.01 degree) = 51.0953389

Szép kis feladat! :-)

Adott

T = 4920

a*b = 10324

α = 64,01

a, b, c, ß = ?

-----------------

Néhány próbálkozás után a következő megoldási stratégia mellett döntöttem:

Felírom a c oldalra a koszinusz tételt - azért erre, mert ebben fordul elő a megadott a*b szorzat - majd a többi ismeretlent egy ismeretlen függvényében kifejezni, ezek értékét behelyettesítve a képletbe egy oldal értéke megkapható. Aztán a többi már nem probléma.

Tehát

A koszinusz tétel a c oldalra

c² = a² + b² - 2ab*cosγ

Ennek az elemei

A területképletből, miszerint

2T = a*b*sinγ

sinγ = 2T/a*b

A szög kilőve. :-)

Az oldalak

Két szinusztétel

a*sinγ = c*sinα

és

b*sinα = a*sinß

Az elsőből

a = c*(sinα/sinγ)

a másodikból

b = a*(sinß/sinα)

'a' előző értékét behelyettesítve

b = c*(sinα/sinγ)*(sinß/sinα)

egyszerűsítés után

b = c*(sinß/sinγ)

Összeszedve a behelyettesítendőket

sinγ = 2T/a*b

a = c*(sinα/sinγ)

b = c*(sinß/sinγ)

Vissza a koszinusz tételhez

c² = c²(sinα/sinγ) ² + c²(sinß/sinγ)² - 2ab*cosγ

ebből c²-t kifejezve

c² = 2ab*cosγ/[sinα/sinγ)² + (sinß/sinγ)² - 1]

A törtek eltüntetse után

c² = 2ab*cosγ*sin²γ/(sin²α + sin²ß - sin²γ)

Mivel az oldalak kifejezésében a

c/sinγ

kifejezés szükséges, ezért a

c²/sin²γ = 2ab*cosγ/(sin²α + sin²ß - sin²γ)

értéket célszerű kiszámítani

vagyis

c/sinγ = √[2ab*cosγ/(sin²α + sin²ß - sin²γ)]

A jobb oldalt konstansként kezelve

√[2ab*cosγ/(sin²α + sin²ß - sin²γ)] = Q

ezzel

c = Q*sinγ

=========

Az oldalak

a = sinα*(c*/sinγ)

b = sinß*(c*/sinγ)

a = Q*sinα

========

b = Q*sinß

========

Remélem, nem hibáztam sokat. :-)

DeeDee

***********