Mennyi a kiradírozott számok összege?

például kezdjük a bal felső 2x2-es négyzettel: 1-et hozzáadva lesz 10 minden eleme. Ekkor a 3x3-as bal felső mezőjében is 10 lesz, és a középsőben is. Aztán rátérünk a jobb alsó 2x2-esre. Itt 11-et kell hozzáadni, hogy 20 legyen a meglevő mezőkben, ezzel a jobb alsó mező is 20 lesz, a középső pedig 21. A jobb felső és a bal alsó sarok nem változott, marad 9, már csak össze kell adni a számokat.

De lehet kezdeni a bal alsó 2x2-essel is, aztán a jobb felsővel, végül a jobb alsóval.

Az első megoldás csak néhány speciális esetet nézett, általánosságban kicsit máshogy kell gondolkodni.

Négy darab 2x2-es négyzet lehet, amik értékét növeljük. Nevezzük bf, jf, ba, ja-nek azt, hogy a bal-felső, jobb-felső, bal-alsó, jobb-alsó 2x2-es négyzetet hányszor növeltük.

A 3x3-as négyzetben a felső sor középső eleme (ami 10 lett) akkor növekedett, ha vagy a bal-felső, vagy a jobb-felső 2x2-es négyzetet növeltük. Vagyis igaz lesz ez:

bf + jf = 10

Ugye ezt  érted?

Teljesen hasonlóan gondolkodhatunk a maradék 3 ismert mezőnél is. Gondolj bele, melyik mező mikor növekszik, ezeket az egyenleteket kapod rájuk:

bf + ba = 10

jf + ja = 20

ba + ja = 20

Vagyis összesen felírtunk 4 egyenletet a 4 ismeretlenhez, ezt az egyenletrendszert meg lehet oldani. Abból aztán kiszámolható nem csak a kiradírozott számok összege, hanem minden egyes kiradírozott szám is.

--

Valószínű lehet egyszerűbben is számolni, ha csak az összeg érdekel. Próbáljuk meg.

A sarkokban lévő mezők csak akkor nőnek, ha az ott lévő 2x2-es növekszik. Tehát a négy kiradírozott sarokmező összege bf+jf+ba+ja. A középső mező viszont mindegyik 2x2-es növeléskeor nő eggyel, tehát az önmaga bf+jf+ba+ja lesz. Az 5 kiradírozott összege tehát 2·(bf+jf+ba+ja).

Nézd meg kicsit az előbb felírt 4 egyenletet. Ha mind a négyet összeadjuk, pont ezt a dupla összeget kapjuk! Tehát nem is kell megoldani az egyenletrendszert, csak össeadni, a válasz tehát ... add össze :)