Igaz-e, hogy a cos (x^2+y^2) +gyök (x^2+y^2) =1 - mint mértani hely - az origó középpontú egységsugarú körön kívül, de a 2 sugarú körön belül helyezkedik el?

Azon (x,y) pontok mértani helye, amire x²+y²=r² adott, nem más mint egy origó középpontú r>0 sugarú körvonal.

Látható, hogy a képletedben a kifejezés valójában csak r-től függ, azaz először a cos(r²)+r=1 egyenletet kell megoldanod r>0-ra.

Mivel -1≤cos(r²)≤1, ezért r>2 esetén nem lesz megoldás, mert r+cos(r²)>2-1=1 lesz.

Tehát az biztos, hogy a megoldásaid a 2 sugarú körön belül lesznek.

Erről a grafikonról leolvashatod a cos(r²)+r függvény viselkedését:

[link]

Láthatod, hogy a 0-n kívül (amit kizárt az első megjegyzésed) 1<r<2 között lesz 2 megoldásod, amikor cos(r²)+r=1 teljesülni fog, közelítően r₁~1.413 és r₂~1.897 esetén, pl. ez kiszámolja a közelítést:

[link]

Azaz az (x,y) megoldások 2 koncentrikus (r₁ és r₂ sugarú) körvonalon fognak elhelyezkedni, lásd itt a grafikont:

[link]

Azaz a megoldások az 1 sugarú körvonalon kívül, de a 2 sugarún belül lesznek (kb. az 1.413 és 1.897 sugarú körvonalakon).

Az első megoldás gyakorlati felhasználásra rendben van, de elméletileg probléma van vele. Ugyanis azt mondja, hogy rajzoljuk fel a görbét (a wolfram alfával), és látszik belőle, hogy mi a megoldás. Matek órára ilyen megoldás nem szokott elfogadható lenni.

Egyébként hol tanulsz? Gondolom, nem középiskolás feladat ez, inkább egyetemi. Ha mégis gimnáziumi, és nem matek tagozatos vagy, lehet, hogy az első válaszoló "nézzük meg a rajzot" megoldása is jó.

Fogok olyat írni, amit az első válaszoló is írt, mert nem akarom letörölni, ha már beírtam...

Az egyértelmű, hogy a mértani hely képe egy vagy több kör, hisz a kifejezés értéke csak az (x;y) pont origótól való távolságától függ.

Ha a (0;0) pont is benne lenne az értelmezési tartományban, akkor az origó (vagyis a 0 sugarú kör) is része lenne a mértani helynek.

Felírhatjuk a függvényt ilyen alakban, ahol r=√(x²+y²) pozitív szám:

cos(r²) + r = 1

Ezt a függvényt a szokásos x-y koordinátarendszer helyett most az r-s koordinátarendszerben ábrázolhatjuk:

s = cos(r²) + r

Csak az r>0 oldal számít!

Kérdés, hogy mikor metszi ez a függvény az s=1 vízszintes egyenest.

r>2 esetén biztos, hogy nem metszheti, mert a koszinusz nem lehet minusz egynél negatívabb. Vagyis csak 0 és 2 között lehet megoldása az egyenletnek.

Be kellene látni, hogy r≤1 esetén nincs megoldás. r=1-re cos(1)+1 ≈ 1,54. Az a sejtésem, hogy r<1-re cos(r²)+r > 1

Próbálkoztam belátni elemi módszerekkel, de nem jutottam sokra (bár lehet, hogy van egyszerű megoldás, csak nem esett le). Ha tanultatok sorfejtést, akkor ez jó megoldás:

A cos(r²)+r függvény Taylor-sora r=0 körül így indul:

cos(r²)+r ≈ 1 + r -r^4/2 +r^8/24 - ...

Váltott előjellel megy tovább. r<1 esetén az r hatványok nullához tartanak, tehát a sor olyankor Leibniz sor. Vagyis ha 1+r-rel közelítjük a sort, akkor a közelítés hibája kisebb, mint r^4/2. Tehát:

cos(r²)+r > 1 + r - r^4/2 > 1 + r - r/2 = 1 + r/2

(Mivel r<1, ezért lehetett megtenni ezt a (-r^4/2) > (-r/2) minorálást)

Vagyis azt beláttuk, hogy r<1 esetén cos(r²)+r > 1, tehát ott nem lehet megoldás. Tehát az 1 és 2 sugáron belül van(nak) a kör(ök), ahogy bizonyítani kellett.

A feladat megadta, hogy 2 gyöke van az egyenletnek, tehát ezt nem kell bebizonyítani. Becsülnünk kellene viszont ezt a két megoldást, hogy a két kör közötti területet kiszámolhassuk.

A cos(r²) függvény első lokális minimuma r=√π-nél van, ami ≈1,7725. Ez éppen az 1..2 intervallumban van, bizonyára e körül valahol lesz a két megoldás. (Megjegyzés: a cos(r²)+r függvénynek nem pont ott van a lokális minimuma, de nem baj.)

Most sincs jobb ötletem, mint hogy fejtsük sorba a cos(r²)-et r=√π körül. Az első 2 tag:

cos(r²) ≈ -1 + 2π(r-√π)²

Nem tudom, a becsléshez kell-e hibát is számolni, ha kell, akkor ciki. Most nincs arra ötletem. Ha nem kell, akkor az eredeti egyenletet ezzel becsüljük:

-1 + 2π(r-√π)² + r = 1

Ez egy sima másodfokú egyenlet, gyökeit a megoldóképlettel ki lehet számolni. Én nem vacakoltam vele, a wolfram ezt mondta:

r₁ = 1,48661

r₂ = 1,89915

Ez a két kör sugarának becslése. A közöttük lévő terület már simán kijön, le se írom (ugye nem kell).

Még annyi megjegyzés, hogy a pontos megoldás a wolfram szerint 1,41298 és 1,89714. Vagyis 5% körüli lehet a hiba a rosszabbik oldalon. Persze ez nem bizonyíték, szóval ha hibát is kellene mondani a becsléshez, akkor gond van... de hátha valaki kitalálja.