Mi a megoldása ennek a matek feladatnak? (7-12. osztály)

A foldszint az 1. emelentek szamit vagy a 0.-nak?

(A gordiuszon gyakran vannak angolbol illetve franciabol forditott feladatok) A megoldsa szempontjabol ez mondjuk lehet, hogy mindegy.

OK, akkor menjunk a lifttel a 15+x. emeletre es vigyunk magunkkal k> 7-x embert. (x lehet negativ)

Ekkor a foldszintrol 21-k ember megy folfele, osszesen

3*(21-k)(22-k)/2 energiat felhasznalva.

1 ember megy a 15+x. emeletre

6-x ember megy a lifbol fel 3*(6-x)(7-x)/2 energiat felhasznalva.

k-(21 -(14-x)) = k-7+x ember megy a liftbol le,

(k-7+x)*(k-6+x)/2 energiat felhasznalva, ami osszesen ha el nem szamoltam (szamolj utana!)

(4x^2 + 2kx - 52x + 4k^2 -148k + 1554)/2 =

= ((x+k-a)^2 - a^2 +2ax+2ak + 3x^2- 52x + 3k^2 -148k + 1554)/2 =

= ((x+k-a)^2 + 3x^2 - 2(26-a)x + 3k^2 -2(74-a)k -a^2 + 1554)/2 =

Az lenne a jo valasztas a-nak, ha:

(26-a)/3 + (74-a)/3 = a

5a = 100

a= 20

Ekkor az energia:

= ((x+k-20)^2 + 3x^2 - 2(6)x + 3k^2 -2(54)k -400 + 1554)/2 = ((x+k-20)^2 + 3(x^2 - 2)^2 -12+ 3(k- 18)^2 -3*18^2 -400 + 1554)/2 =

=((x+k-20)^2 + 3(x - 2)^2 +3(k- 18)^2 -3*18^2 + 170 )/2

ami minimalis ha a negyzetek mind 0-k,

ami lehetseges, ha x=2, k=18

vagyis15+2 = 17. szintre kell ezek szerint a liftnek mennie.

Ez azt jelenti, hogy csk 3 ember marad a foldszinten. Aki a 4.-en lakik annak a 16. emelet pont olyan jo mint felmenni.... Hmmm furcsa... Erdemes szerintem atnezni nem szamoltam-e el valahol. A 16. szint az valahogy jobb megoldasnak tunik.

1 emeletet felmenni 3 energia.

1 emeletet lemenni 1 energia.

Ha 16-ra megy as lift akkor 5*3+15*1 energia= 30 energia

HA 17-re megy a lift akkor 4*3+16*1 energia=28 energia.

Tehát ezért:)

Nezzuk mi van akkor, ha 21 emelet van es az 1. a foldszint.

Itt is fogom hasznalni, hogy: 1+2+3+...+m = m*(m+1)/2

Mondjuk a 21-n. emeletre megy a lift es n+k+1 embert visz magaval. A +1 ember marad ott ahova a lift megy, n megy fel a lifttol, k megy lefele es maradt a foldszinten 21-n-k-1= 20-n-k.

Tehat 20-n-k marad a foldszinten. Ebbol 19-n-k megy felfele, 1 marad a foldszinten.

Az o energia befektetesuk:

3(19-n-k)*(20-n-k)/2

A k ember aki lefele megy:

k(k+1)/2 energiat hasznal fel.

az n ember aki felfele megy: 3(n)*(n+1)/2 energiat hasznal fel.

A total energia amit felhasznaltunk:

3(19-n-k)*(20-n-k)/2 + k(k+1)/2 +3(n)*(n+1)/2 =

= (6n^2 + 6kn - 114n + 4k^2 -116k + 1140)/2 =

=(3(n+k-A)^2 +6nA+6kA-3A^2 +3n^2 -114n +k^2 -116k +1140)/2 =

=(3(n+k-A)^2 +3(n - 19+A)^2 +(k - 58 +3A)^2 - 3A^2 - 3*(A-19)^2 - (3A-58)^2 +1140)/2 =

=(3(n+k-A)^2 +3(n - 19+A)^2 +(k - 58 +3A)^2 -15A^2 +462A - 3307)/2 =

A-ra az lenne a jo megoldas, ha

A = 19-A + 58-3A lenne mert akkor a negyzetek fent pont 0-k lennenenek, vagyis:

5A = 77

A = 77/5

Ami nem egesz szam, mindenesetre n=3,6 es k= 11,8 jonne ki eredmenyul. Ami nem megoldas egyelore mert egesz szam kellene. Mindenesetre ha tippelni kell, akkor n=4 vagyis 17. emelet latszik meg a legjobbnak a lehetseges eredmenyek kozul.

Meg egyszer mashogyan.

Nezzuk azt az esetet amikro normal magyar szamozasuak az emeletek es a foldszintrol indulnak.

Mondjuk 21-n szintre megyunk a lifttel es n+k+1 embert viszunk magunkkal, 20-n-k marad a foldszinten es ez mind felfele kell hogy menjen.

Hogy valtozik az energia felhasznalas, ha k-t megnoveljuk 1-gyel?

1-gyel kevesebb ember fog felfele menni a foldszintrol, 1-gyel tobb ember fog lefele menni, vagyis:

dE = +(k+1)-3(20-n-k) lesz az energiavaltozas.

dE = -59+3n+4k

Ez egesz addig lesz negativ amig

-59+3n+2k < 0

4k < 59-3n

k<(59-3n)/4

Vagyis ha k kevesebb, mint (59-3n)/4 akkor megeri meg egy embert felvinni a lifttel, vagyis van egy egyertelmu optimuma annak, hogy hany ember menjen fel ha egy adott emeletig megyunk. Nezzuk meg azokat a k-kat amiket mar nem eri meg megnovelni:

n k

0 15

1 15

2 14

3 13

4 12

5 12

6 11

7 10

8 9

9 9

10 8

11 7

12 6

13 6

14 5

15 4

16 3

17 3

18 2

19 1

Most nezzuk azt, hogy rogzitett k eseten mikor erdemes 1 emelettel lejebb menni, vagyis mikor erdemes n-et 1-gyel megnovelni?

Ha n-net 1-gyel megnoveljuk, akkor 1-gyel kevesebb ember megy felfele a foldszintrol, es eggyel tobb a liftbol. Vagyis az energiavaltozas:

dE = -3(20-n-k) + 3(n+1) = -57 + 6n + 3k

Ez addig negativ, amig:

-57 + 6n + 3k < 0

n< (57-3k)/6

Itt is lesz tehat egy optimalis erteke n-nek.

Nezzuk itt is kulonbozo k eseten mikor erdemes meg megnovelni n-et:

k n

0 10

1 10

2 9

3 9

4 8

5 8

6 7

7 7

8 6

9 6

10 5

11 5

12 4

13 4

14 3

15 3

16 2

17 2

18 1

19 1

Minden n-re van optimalis k, minden k-ra optimalis n.

Ha van egy egyertelmu minimum, akkor meg fogjuk talalni.

Ha n=0 akkor k=15 a legjobb

ha k=15, akkor n=3

ha n=3, akkor k=13

ha k=13, akkor n=4

ha n=4 akkor k=8

ha k=8 akkor n=6

Ha n=6, akkor k=11

Ha k=11, akkor n=5

ha n=5, akkor k=12

ha k=12, akkor n=4

ha n=4, akkor k=12

Konnyen ellenorizheto, hogy akarhonnan indulunk addig lehet az energiat csokkenteni hol k hol n valtoztatasaval, amig ugyan ide nem erunk. Halistennek csak vegessok leosztas lehetseges k-ra es n-re, egyebkent ez a modszer nem feltetlenul mukodne egyszeruen.

Vagyis megint 21-n=21-4=17 jon ki helyes megoldasnak.

(es 17 embert kell felvinni)

A mozaik feladatoknak mintha rovidebb megoldasuk szokott volna lenni.

Szerintem kell lennie itt is valami otletes egyszeru megoldasnak.