Egy táblára felírtuk az 1/2,1/3,1/4, . ,1/2011,1/2012 számokat. Egy-egy alkalommal letörlünk három x, y és z számot és helyettük felírjuk az xyz/xy+xz+yz-x-y-z+1 számot. Ezt ismételve 1005-ször, csak egy szám fog maradni. Melyik ez a szám?

Először is tanuld meg, hogyan írd le a feladatot úgy, hogy más is megértse: az xyz/xy+xz+yz-x-y-z+1 alak nem azt jelenti, ami a tényleges feladatod, itt most szerencsére ki lehetett találni, hogy xyz/(xy+xz+yz-x-y-z+1)-re kell gondolni.

A megoldás vázlatosan: ha a táblán az x1,x2,... számok szerepelnek, tekintsük az S=(1/x1-1)*(1/x2-1)*... szorzatot!

Bizonyítsd be, hogy minden lépés után ez változatlan marad. Kezdetben S=(2-1)*(3-1)*...*(2012-1)=2011!, ezért a végén 1/(2011!+1) fog szerepelni a táblán.