Magasságtétel, befogótétel! Tudnátok segíteni?

Legyen

a, b - a háromszög befogói b > a)

c - az átfogó

ca - az 'a ' oldal

cb - a 'b' oldal

vetülete az átfogón

m - az átfogóhoz tartozó magasság

ERzek a jelölések érvényesek minden feladatra

1. feladat

A feltételek:

(1) b/a = 3/2

(2) cb = ca + 2

c = ?

A befogó tétel szerint

b² = c*cb

a² = c*ca

A hányadosuk

b²/a² = c*cb/c*ca

b²/a² = cb/ca

Mivel az (1) feltétel szerint

b/a = 3/2

így

cb/ca =9/4

A 'cb' és 'ca' mennyiséget kellene 'c'-vel kifejezni

c = ca + cb

a (2) feltétellel

c = ca + (ca + 2)

c = 2*ca + 2

ebből

ca = (c - 2)/2

cb = c - ca

A 'ca' előző értékét behelyettesítve, összevonás után

cb = (c + 2)/2

A kettőjük aránya a 'ca' és 'cb' behelyettesítése után

cb/ca = (c + 2)/(c - 2) = 9/4

A jobboldali egyenlőségből

4(c + 2) = 9(c - 2)

ebből

c = 26/5

======

************************************************

2. feladat

ca = 4

cb = 12

a, b, m = ?

A magasság tétel szerint

m² = ca*cb

A befogók tételük szerint

a² = c*ca

b² = c*cb

ahol

c = ca + cb

így

a² = (ca + cb)*ca

b² = (ca + cb)*cb

**************************************

3. feladat

a = 5

ca = 2

b, c, m = ?

A befogó tétel szerint

a² = c*ca

ebből

c = a²/ca

=======

A másik befogó

b² = c*cb

cb = c - ca

így

b² = c(c - ca)

A magasság a tételéből

m² = ca*cb

m² = ca(c - ca)

************************

4. feladat

a = 5

m = 3

c, b = ?

Többféleképp is megoldható ez a feladat, ezért most egy nem hagyományos megoldást mutatnék.

Levezethető a derékszögben érvényes következő összefüggés (ha érdekel, leírom részletesen is):

1/m² = 1/a² + 1/b²

Ebből számítható a 'b²' ill a 'b' értéke, majd az átfogó a

c² = a² + b²

ismert összefüggéssel kapható.

A behelyettesítést meghagyom neked. :-)

Ha kérdés van, írj.

DeeDee

**********

1, az átfogó két részének aránya megegyezik a befogók arányának négyzetével (a magasságvonallal kettévágott háromszög mindkét fele hasonló az eredeti háromszöghöz).

(x+2)/x = 2,25

x= 2/1,25 = 1,6.

Az átfogó hossza: 2x+2 = 5,2cm

2, 12/m = m/4

m = gyök(48) cm = 4*gyök(3) cm

befogók innen akár Pithagorasz tétellel, akár a területből és az ismert 1:gyök(3) arányukból egyszerűen kiszámolható.

Egyik: 8 cm

Másik: gyök(192) cm = 8*gyök(3) cm

3. A merőleges vetület az a magasságvonal által levágott rész. Pithagorasszal: m=gyök(21)cm. Innen az előző feladatokhoz hasonló

4, Tökugyanolyan, mint az eddigiek.

Örülök, hogy érdekelnek a részletek is. :-)

Az

1/m² = 1/a² + 1/b²

összefüggés levezetése

A derékszögű háromszög területe

egyrészt a befogókkal

T = a*b/2

másrészt az átfogóval és a hozzá tartozó magassággal

T = c*m/2

A kettőt egyenlővé téve

a*b/2 = c*m/2

egyszerűsítés után a magasság

m = a*b/c

Mindkét oldalt négyzetre emelve

m² = a²*b²/c²

Mivel

c² = a² + b²

ezért

m² = a²*b²/(a² + b²)

A számlálót és a nevezőt is elosztva a²b²-tel

m² = 1/(1/a² + 1/b²)

Mindkét oldal reciprokát véve

1/m² = 1/a² + 1/b²

=============

A befogó tétel

A tétel azt mondja ki, hogy egy derékszögű háromszög befogója mértani középarányos az átfogó és a befogónak az átfogóra eső vetülete közt.

A továbbiak értelmezéséhez lásd ezt az ábrát:

[link]

Az átfogóhoz tartozó magasság két hasonló háromszögre osztja az eredetit.

A befogó tétel ezekből vezethető le.

A kék háromszög és az eredeti háromszög hasonlósága miatt írható

ca/a = a/c

Mindkét oldalt a*c-vel szorozva

a² = c*ca

ill

a = √(c*ca)

=========

Hasonlóképp a sárga háromszögből

cb/b = b/c

és

b² = c*cb

ill.

b = √(c*cb)

=======

Tulajdonképpen ennyi a levezetés, nem tudom, érthető-e?

DeeDee

**********

1. Nem tennék jót veled, ha leírnám a megoldást. Nézd meg a tangens függvény definícióját. Annak segítségével ki tudod hozni.

2. Ez meg a szinuszfüggvénnyel megy, de van benne egy pici csavar:

1, Rajzolj a füzetedbe egy téglalapot (a vízszintes oldala legyen jóval hosszabb a függőlegesnél)!

2, Rajzold be a bal alsó sarkot a jobb felsővel összekötő átlót!

3, A bal alső sarokba írd oda, hogy "énekes", a jobb felsőbe, hogy "néző"!

4, A főggőleges oldalhoz írd oda, hogy 12m, az átló és a vízszintes oldal bezárt szöge: 17 fok.

5, Számold ki az átló hosszát! Ez a végeredmény.