Segítene valaki matematikából?

Felteheto, hogy a≥b≥c

Ekkor az egyenlotlenseg igy nez ki:

a^3+b^3+c^3 ≥ 3abc+1/6*(a+b+c)*(a-b+ b-c+a-c)^2

Atrendezve a baloldalra es szorzatta irva:

(a+b+c)(c^2-3bc+ac+3b^2 - 3ab+a^2)/3 ≥ 0

Nyilvan elegendo azt belatni, hogy:

c^2-3bc+ac+3b^2 - 3ab+a^2 ≥ 0

Ami igy is irhato:

(2b-c - a)^2 + (a-b)(b-c)≥ 0

Ez pedig nyilvan igaz.

Ha az utolso atalakitas esetleg gondot okoz, itt van tobb lepesben:

(b-c)^2 + (a-b)^2 + ac -bc -ab + b^2 ≥ 0

(b-c)^2 + (a-b)^2 - b(c-b) + a(c-b) ≥ 0

(b-c)^2 + (a-b)^2 - (a-b)(b-c) ≥ 0

(b-c)^2 + (a-b)^2 - 2(a-b)(b-c) +(a-b)(b-c) ≥ 0

((b-c) - (a-b))^2 + (a-b)(b-c)≥ 0

Azert az elso mondaton erdemes egy kicsit gondolkodni. Felteheto, hogy a>=b>=c. Es ha nem? Mi alapon teheto fel?

Egyebkent ez tenyleg igaz, de a kerdes feltevoje tenyleg erti, hogy miert teheto fel ez?

Persze, az igaz, hogy legalabb igy levezetheto, de ettol meg ez igy nem helyes. Ha azt mondom, hogy legyen a es b 0, akkor is levezetheto, de felrevezeto is egyben.

Szoval azert tehetjuk fel, hogy a>=b>=c, mert a kifejezes a harom valtozoban szimetrikus. Ez azt jelenti, hogy ha pl. 'a' es 'b' szerepet megcsereljuk, akkor ugyanazt a kifejezest kapjuk. Gyakorlatban probald ki, minden 'a' helyebe irj 'b'-t es forditva. Lathato, hogy a 'c' eseteben ugyanez a helyzet. Igy viszont mar tenyleg feltehetjuk, hogy a>=b>=c. (Mert ha ez nem igaz, akkor felcsereljuk a ket valtozot.)

Matektanarkent azt mondom, hogy ha ezt a lepest kihagyod, akkor mondjuk 10 pontbol 2-t veszitesz.