Matek:Koordináta-geometria Mi a képlet?

[link]

Egy pontnak egy adott egyenestől mért legrövidebb távolsága [szerkesztés]

Adott egy egyenes egyenlete Ax + By + C = 0 formában, valamint egy P(x0; y0) pont. Az egyenes és a pont távolsága a fenti jelölések alapján:

|A·x0 + B·y0 + C|/ √(A² + B²) = d. (d a távolság.)

Hosszabban: Merőlegest kell állítani a pontból az egyenesre, meghatározni a metszéspotot, és onnan már a távolság számolható.

Ez a képlet van fenn wikin, fejből nem tudom, hogy jó-e. De mivel ott volt, ezért megbíznék benne.

Viszont ezzel a képlettel csak a d távolság jön ki.

Az nem, hogy az egyenes melyik pontját, kell összekötni a ponttal.

Szóval, igen formailag be kell helyettesíteni.

De ez csak formai behelyettesítés, tartalmat ne rendelj hozzá.

"szóvalakkor van egy P(3;2)pontom és egy e:10x-8y+5=0 egyenesem.meghúzom a legrövidebb vonalat az egyenes és a pont között.és akkor behelyettesítem a P pont koordinátáit az e egyenes képletébe?"

A távolságra találtam képletet, a pontra arra nem találtam külön képletet. Tehát valszeg nincs egyszerű képlet.

Nézzük meg a feladatodat.

A normál vektor valószínűleg ebben a felírásban (10,-8) de ebben már nem vagyok biztos.

Úgyhogy inkább úgy csinálnám, hogy rendezzük y-ra az egyenletet:

e:10x-8y+5=0

y=(10x+5)/8 =5/4x+5/8

Ennek az egyenesnek a meredeksége 5/4

A rá merőleges egyenes meredeksége -4/5

Egy olyan egyenest keresünk, ami y=-4/5*x+c alakú és átmegy P(3;2)-n. Ebből c-t ki lehet számolni, ha beírjuk P-t az egyenes egyenletébe:

2=-4/5*3+c

c=2+12/5=22/5

Vagyis y=-4/5*x+22/5

A metszéspont az ennek és az eredeti egyenletnek a metszéspontja, vagyis

5/4x+5/8=-4/5*x+22/5

(5/4+4/5)*x=22/5-5/8

(25/20+16/20)*x=176/40-25/40

41/20*x=151/40

x=151/82=1,84

y=-4/5*151/82+22/5=2,93

(1,84 2,93) pontja az egyenesnek van a legközelebb a megadott P ponthoz.

A távolsága a P(3,2) ponttól

gyök [(3-1,84)^2+(2-2,93)^2]=1,486

Ha most megnézzük a wikis képletet:

1,4836-ot ad, valszeg a kerekítés miatt tér el kicsit.

pl:

e: y=5x+4

0=5x-y=-4

vagyis a normálvektora n(5;-1)

szóval x-et és y-t egy oldalra, a számokat a másik oldalra helyezed

alapegyenlet:

Ax+By=Ax0+By0

ahol n(A;B)

vagyis az x és y előtti szám a normálvektor

Ez jött ki merőleges egyenletre.

Vagyis y=-4/5*x+22/5

Átalakítva 4x+5y=22

Na most, az eredeti egyenletnek a normálvektora az (10,-8), ahogy mondtam.

Akkor a rá merőleges egyenletnek a (10,-8) az IRÁNYVEKTORA. Írjuk fel az irányvektoros egyenletet:

10*y-(-8)*x=10*2-(-8)*3

10y+8x=44

5y+4x=22

Így is ugyanaz jön ki.

De én jobban szeretek meredekségekkel számolni.