Ezt a feladatot hogyan kell megoldani? (matek)

9 a távolság, v1 és v2 a sebesség.

Az időt számoljuk órában.

Ha egymás felé mennek, akkor

1/3*v1+1/3*v2=9

Ha egy irányba mennek, akkor a gyorsabb úgy éri utol a lassabbat, hogy közben 9 km-el ment többet.

Elképzelsz egy vízszintes utat. Mint a számegyenest.

0-ból indul jobbra az egyik kerékpáros, és 9-ből szintén jobbra a másik. Nyilván a 9-ből indulónak kell a lassabbnak lennie.

3*v1=9+3*v2

Két egyenlet, két ismeretlen, megoldod, kijön, hogy:

15 és 12

Hm...

Legyen

S = 9 km - a két pont közti távolság

t1 = 20 min = 0,3 h - találkozási idő szemben haladva

t2 = 3 h - a találkozási idő egy irányban haladva

v1, v2 = ? (v1 > v2)

Vizsgáljuk a feladatot a lassabb bicajoshoz kötött koordináta rendszerben, vagyis tekintsük a lassabb bicajost állónak.

Ekkor szemben haladáskor a gyorsabb bicajos a sebességek összegével, egyirányú haladáskor a sebességek különbségével mozogva teszi meg a köztük levő távolságot, vagyis

szemben haladva

t1(v1 + v2) = S

egy irányban haladva pedig

t2(v1 - v2) = S

Tehát a két kiinduló egyenletünk

(1) t1(v1 + v2) = S

(2) t2(v1 - v2) = S

Ennyi elég a két ismeretlenhez, a megoldás csak módszer kérdése.

Vegyük a két egyenlet hányadosát: (1)/(2)

(t1/t2)(v1 + v2)/(v1 - v2) = 1

Ebből megkaphatjuk a két sebesség hányadosát, ami

v1/v2= [1+ (t1/t2)]/[1 - (t1/t2)]

A jobb oldalon a törteket eltüntetve

v1/v2 = (t2 + t1)/(t2 - t1)

A

(t2 + t1)/(t2 - t1) = T

jelöléssel

v1/v2 = T

amiből

v1 = T*v2

Ezt valamelyik kezdő egyenletbe - pl. az (1)-be - behelyettesítve

(1) t1(v1 + v2) = S

t1(T*v2 + v2) = S

kiemelés után

t1*v2(T + 1) = S

amiből

v2 = S/[t1(T + 1)]

Lássuk a számokat.

A T állandó értéke:

T = (t2 + t1)/(t2 - t1)

T = (3 + 0,3)/(3 - 0,3) = 3,3/2,7

T = 11/9

Ezután a sebességek

v2 = S/[t1(T + 1)]

v2 = 9/[0,3(11/9 + 1)]

v2 = 13,5 km/h

===============

v1 = T*v2

v1 = (11/9)*13,5

v1 = 16,5 km/h

==============

Ellenőrzés a kiinduló egyenletek szerint

(1) t1(v1 + v2) = S

0,3(16,5 + 13,5) = 0,3*30 = 9

(2) t2(v1 - v2) = S

3(16,5 - 13,5) = 3*3 = 9

Jónak tűnik a megoldás! :-)

DeeDee

**********

Mondhatnám, hogy közelítő értékkel számoltam, de nem mondom. :-) Egyszerűen elnéztem.

De a módszer jó, csak a T értékét kell újra számolni, és megvan az új eredmény.

DeeDee

**********