Valaki? (geometria) Régen tanultam, és sajnos már nem emlékszem arra, hogy hogyan kell megoldani őket.

Minden hasonló feladat kiszámolását is elvégzi a GeoGebra program:

[link]

1. feladat

r = 3 cm - a kúp alapkörének sugara

φ = π/6 [rad] - a kiterítési körcikk nyílásszöge

α - a fél kúpszög

L - a kiterítési körcikk sugara (tkp. a kúp alkotójának hossza)

P = ?

Célszerű összefüggést találni a félkúpszög és a kiterítés szöge közt.

Mivel a kiterítés ívhossza a kúp alapkörének kerülete, ezért írható

L*φ = 2rπ

Az alkotó hossza a kúp tengelymetszetéből

mivel

sinα = r/L

ezért

L = r/sinα

Ezt az előző egyenletbe behelyettesítve

(r/sinα)*φ = 2rπ

r-rel történő egyszerűsítés után marad

(A) φ = 2π*sinα [rad]

=============

A palást területének kiszámításához elég a sugár és a fél kúpszög, ugyanis

P = r²π/sinα

A kiterítés szögének ismeretében a sinα értéke számítható a (A) összefüggésből

sinα = φ/2π = (π/6)/2π

sinα = 1/12

Ezzel a palást területe

P = 9π/(1/12) = 9*12*π

P = 339,292 cm²

============

Természetesen kiszámítható a palást területe mint a kiterítés területe is.

A kiteítés, mint körcikk területe

P = i*L/2

ahol

i - az alapkör kerülete, a kiterítés ívhossza

A kiterítés sugara

L = r/sinα = 3/(1/12) = 3*12

L = 36

így a palást területe

P = 2*3*π*36/2 = 3*36*π = 108π

P = 339,292 cm²

=============

2. feladat

r = 2 cm

φ = π = 180°

V = ? - a kúp térfogata

Az előző feladat (A) összefüggéséből

sinα = φ/2π = π/2π

sinα = 1/2

ami azt jelenti, hogy a fél kúpszög 30°, így a kúp nyílásszöge 60°, tehát egy olyan kúpról van szó, melynek tengelymetszete egy egyenlő oldalú háromszög.

A térfogat

V = r²π*m/3

a magasság

m = r√3

ezzel a térfogat

V = r³π*√3/3

Behelyettesítve

V = 8*π*√3/3

V = 14,510 cm³

Remélem követhető volt a megoldás.

DeeDee

**********