Másodfokú egyenletek komplex számú végeredménye?

nem teljesen értem mit akartál kérdezni, de

i=sqrt(-1)

tehát i^2=-1.

nagyjából ennyi trükkre van szükséged.

Nem, az hülyeség. Az kb olyan, minthogy 5-en utaznak a buszon, és leszáll 15 ember, akkor hányan maradnak a buszon. Egy másodfokú egyenletnek mindig természetes számú végeredménye van komplex számok felett. Konkrétan 1 vagy 2.

Valós együtthatós másodfokú egyenletnél, ha a diszkrimináns pozitív, akkor két különböző gyök van, ezek valósak. Ha nulla, akkor 1 darab kétszeres valós gyök van. Ha a diszkrimináns negatív, akkor szorzatként vonhatsz belőle gyököt, ugyanis minden negatív szám felírható -1-szer az abszolút értékeként. Így a negatív szám négyzetgyöke az az abszolút értékének a négyzetgyöke szorozva -1 négyzetgyökével ami i vagy -i, és ezzel meg is van a két gyök.

Ha komplex együtthatós a másodfokú egyenlet, akkor bonyolultabb a feladat, ugyanis akkor a diszkrimináns is egy komplex szám, aminek meg kell keresni a négyzetgyökeit.

Mondjuk a gyök alatt -169 áll.

Összesen annyit kell csinálni, hogy gyököt vonsz a pozitív számból, és utána írsz egy i-t.

Azért, mert

gyök(-169)=gyök(-1)*gyök(169)=13*i

Remélem világos.

A második persze arra válaszolt, amit a kérdező kérdezett, és nem arra, amit a kérdező kérdezni akart. Gondolom, a pontos és értelmes fogalmazás szükségességére akarta felhívni a figyelmet.

A másodfokú egyenletnek a valós számok körében 0, 1, vagy 2 megfoldása van, a komplex számok körében 1 vagy 2, azonban a megoldás lehet komplex szám is, ú nélkül (ami egészen mást jelent).

OMG...

1. zárójelezés:

-2 +- 2i/2 = - 2 +- i, (-2 +- 2i)/2 = -1 +- i

-2 +- 4i/2 = -2 +- 2i, (-2 +- 4i)/2 = -2 +- 2i

2.

Az x^2 + 2x + 5 = -2 + 2i egyenlet megoldása az

x = -1 + gyök(-6 + 2i).

Az x^2 + 2x + 5 = -2 - 2i egyenleté az

x = -1 + gyök(-6 - 2i).

Az x^2 + 2x + 5 = -1 + 2i egyenleté az

x = -1 + gyök(-5 + 2i).

Végül az x^2 + 2x + 5 = -1 - 2i egyenleté az

x = -1 + gyök(-5 - 2i).

Itt gyökvonás alatt mindig a két értelmű, komplex gyökvonást értjük, ugyanis két olyan komplex szám van, amit önmagával szorozva ugyanazt a harmadikat kapod. Példaként megmutatom, hogy hogyan kell egyet megcsinálni. Ugye két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, ha a valós és képzetes részük is egyezik. Keressük azt az (a + bi) alakú (a és b valósak) komplex számot, amit önmagával megszorozva -6 + 2i-t kapunk.

(a + bi)^2 = a^2 + (bi)^2 + 2abi = a^2 + b^2*i^2 + 2abi = a^2 - b^2 + 2abi.

Ez szeretnénk, ha -6+2i lenne. Tehát van két egyenletünk a valós és képzetes részre:

1) 2ab = 2 --> b = 1/a.

2) a^2 - b^2 = a^2 - 1/a^2 = -6. Ez a^2-ben egy másodfokú egyenlet, amit megoldva a^2 = -3 +- gyök(10) adódik, mivel a valós, ezért nekünk elég a pozitívból gyököt vonni, így

a = +- gyök(gyök(10)-3), és b = +- 1/gyök(gyök(10)-3).

Tehát az első egyenletnek, amit a hozzászólásod alapján felírtunk, a gyökei

x = -1 +- (a+bi) = -1 +- (gyök(gyök(10)-3) + 1/gyök(gyök(10)-3)), ahol a gyök() már valós gyökvonást jelöl.

Gyakorlásként tessék elvégezni a másik három komplex gyökvonást is!

Bevetve ezoterikus gondolatolvasó képességeimet (amikben nem hiszek...), úgy sejtem, hogy a

x^2 + 2x + 5 = 0

egyenletet akarod megoldatni velünk.

Felírjuk a megoldóképletet:

x = (-2 +- gyök(2^2 - 4*1*5))/2 = -1 +- gyök(-16)/2.

A diszkrimináns negatív, D = -16. Negatív szám négyzetgyöke az az abszolút értékének a négyzetgyöke szorozva -1 négyzetgyökével ami i. Szóval

gyök(-16) = gyök(16*(-1)) = gyök(16)*gyök(-1) = 4*i.

x = -1 +- 4*i/2 = -1 +- 2i.