Hogy kell megoldani ezt a matematikai példát ami gúla és csonkagúla?

Van egy gúlát.

2-szer kell belevágni

1. vágással a felső rész 1/3-a lesz az egésznek.

A 2. vágást gondolatban úgy végezzük el, hogy a levágott csúcsot a helyén hagyjuk.

2. vágással a felső rész 2/3-a lesz az egésznek.

Így sokkal könnyebb kiszámolni, mint csonkagúlákkal.

A levágott kisebb gúlák hasonlóak az eredetihez.

Legyen felülről mérve a magasság m1, m2

Akkor a kis gúla és az eredeti gúla magasságának az aránya:

m1/30 és m2/30

Ha van két test, aminek a vonalai a:b arányban vannak egymáshoz, akkor a térfogat a^3:b^3 arányú lesz.

(Vonal alatt általában éleket értünk, de magasságvonalra is igaz a dolog.)

Vagyis a kis gúlák térfogata:

(m1/30)^3*V és (m2/30)^3*V

Vagyis az alábbi egyenleteket kell megoldani:

(m1/30)^3*V=1/3*V -->(m1/30)^3=1/3

és

(m2/30)^3*V=2/3*V -->(m2/30)^3=2/3

Ezekből könnyen kijön m1 és m2.

m1=20,8

m2=26,2

Ezeket a fölső csúcstól mértük.

Lentről mérve: 3,8 és 9,2 cm magasan kell vágni.

Még egy kis magyarázat:

Minden testre igaz, hogy ha az élei aránya 'k', akkor a felszín aránya 'k^2' a térfogat aránya pedig 'k^3'.

Pl ha elképzelsz egy kockát.

él: 'a'

A0=6*a^2

V0=a^3

A hozzá hasonló kocka:

él: 2a

A1=6*(2a)^2=4*6*a^2=4*A0

V1=(2a)^3=8*a^3=8*V0

Vagyis ha 2szeresére növelem az élt a felszín négyzetesen nő, a térfogat köbösen.

Ez minden testre igaz.

A gúlában, ha a magasságot 20,8-ra csökkentem 30-ról, akkor ez 0,69333 szoros, a térfogat köbösen csökken: 1/3-ra.

Az első válaszoló olyan szépen leírta, hogy én nem is csinálom tovább:

[link]