Mértanból tudnátok segíteni?

Nevezzük az oldalak arányát x-nek. Vagyis AB = x·AD. Az általánosság feladása nélkül az AD oldal hosszát tekinthetjük 1-nek, ekkor AB = x. Tudjuk, hogy 1 < x < 3

Az AM távolságot nevezzük m-nek. (m < 1)

A koordinátarendszerben tegyük az A pontot az origóba, a B és D pontot a tengelyekre: A(0;0), B(x;0), C(x;1), D(0;1)

Az M,N,P,Q pontok itt lesznek:

M(m;0)

N(x;m)

P(x-m;1)

Q(0;1-m)

Az MN vektor: (x-m; m)

Az MQ vektor: (-m; 1-m)

Ennek a kettőnek a vektoriális szorzatának az abszolút értéke megegyezik az MNPQ paralelogramma területével:

T = |MN × MQ| = (x-m)·(1-m) + m·(-m)

T = 2m² - m(x+1) + x

Ezt alakítsuk teljes szorzattá:

T = (√2·m - (x+1)/(2·√2))² + x - (x+1)²/8

Ez akkor minimális, amikor a négyzetes tag nulla. Ekkor a terület ennyi lesz:

Tmin = x - (x+1)²/8

Az ABCD téglalap területe 1·x. A feladat szerint tehát:

x - (x+1)²/8 = 2x/5

Innen már ugye meg tudod oldani? (Csak az egyik gyök esik 1 és 3 közé)

Bongoló válasza nagyszerű, precíz.

Én így ellenőriztem:

[link]

Szeretném megkérdezni, hogy Te hogyan tudtad ellenőrizni, hogy hibátlan a megoldás? (és a leírás is)

Biztos illett volna, de szánom-bánom, nem ellenőriztem :)

Egyébként az elején én is GeoGebrát használtam, hogy lássam, nagyjából mi hogyan alakul, aztán a koordinátageometria részt már papíron folytattam.

Egy javítás: Teljes szorzattá alakítást írtam, de természetesen teljes négyzetre gondoltam.