Öszekevert dominókból véletlenszerűen kiválasztunk 2-t. Mennyi annak a valószínűsége hogy a két dominó összeilleszthetö a játék szabályai szerint?

Az egyes dominókat így fogom jelölni: 4|6 - ez az a dominókő, melynek egyik felén 4, a másikon 6 pötty áll.

Nem tudjuk, hány kőből áll a készlet. Ez attól függ, hogy mennyi a dominóköveken előforduló lehető legnagyobb szám. Legyen ez a szám n, azaz a kövek egyik oldalán 0 -tól n-ig összesen n+1 -féle szám állhat. (Tapasztalatom szerint n= 6, 7, 8, vagy 9 lehet, ilyen készletekkel találkoztam eddig életemben.)

Ekkor a kövek száma a készletben (n+2 alatt a 2), mivel ez n elem 2 osztályú ismétléses kombinációinak száma.

Számszerűleg ez (n+2)*(n+1)/2 darab kő.

"Kedvező/összes" képlettel számolhatjuk a kérdéses valószínűséget, mert véletlenszerűen választunk kettő követ, így bármely kő-pár azonos esélyű.

Az összes esetek száma ( (n+2)*(n+1)/2 alatt a 2 ), azaz átalakítva n*(n+1)*(n+2)*(n+3)/8.

A kedvező eseteket célszerű két részre bontani, az első, amikor egyik kő sem "dupla", a másik eset, amikor az egyik kő dupla. (Olyan eset meg nincs, amikor mindkettő dupla:)

Ha egyik kő sem dupla, akkor az első követ kiválaszthatom (n+1 alatt a 2) -féleképpen, mert ennyi nem dupla kő van - számszerűleg n*(n+1)/2. Az egyik feléhez is választhatok n-1 darab passzoló (nem dupla) követ és a másikhoz is. Ez 2*(n-1) lehetőség, azaz összesen:

2*(n-1)*n*(n+1)/2=(n-1)*n*(n+1) eset. De így minden kedvező (nem dupla) kő-párt kétszer számoltunk! (pl. a 2|4 és 5|4 kő-párt beszámoltuk 5|4 és 2|4 kő-párként is!)

Tehát a megszámolt eseteket kettővel kell osztani: (n-1)*n*(n+1)/2 eset.

Nézzük azokat az eseteket, ahol az egyik kő dupla.

Ilyen dupla kő n+1 darab van. Mindegyikhez választhatok n-féle megfelelőt. Ez n*(n+1) darab esetet ad, itt minden eset csak egyszer szerepel.

Adjuk össze a két kedvező típusból származó eseteket!

(n-1)*n*(n+1)/2 + n*(n+1) = (n+1)^2*n/2 (közös nevezőre hozás és átalakítás után.)

Ezt osztjuk az összes esetek számával, s megvan a keresett valószínűség:

P(A)=( n*(n+1)*(n+2)*(n+3)/8 ) / ( (n+1)^2*n/2 ) = ( (n+2)*(n+3) ) / ( 4*(n+1) )

De figyelmetlen vagyok, a P(a)-nál az összeset osztottam a kedvezővel!

Pont a reciproka lesz, azaz: ( 4*(n+1) ) / ( (n+2)*(n+3) )

Büntetésből kiszámoltam:

n=6 esetén: 72/28 =0,388888889

n=7 esetén: 90/32 =0,355555556

n=8 esetén: 110/36 = 0,327272727

n=9 esetén: 132/40 = 0,303030303

, ahol n jelenti az egy dominóoldalon levő pöttyök maximális számát a készletben.