MATEK! HELP! Legfeljebb hány egész számot írhatunk fel úgy, hogy semelyik kettő összege és semelyik kettő különbsége sem osztható 15- tel?

Hány skatulya van?

15-tel osztva a számok adhatnak

0, 1, 2, ..., 14 maradékot.

Ez elvben 15 skatulya.

Ha egy skatulyába 2 szám van, akkor a különbsége osztható 15-el.

Viszont ha van az 1-es meg a 14-esbe is, akkor az ÖSSZEG lesz osztható. vagyis ez a két skatulya vehető egynek.

Így a skatulyák így fognak kinézni:

0/ 1-14/2-13/.../7-8

Ez összesen 8 skatulya. Max 8 számot lehet felírni.

A 0, 1, 2, ... 14 a 15-tel való oszthatóságból adódó maradékok lehetősége.

Az világos, hogy minden "skatulyába" legfeljebb egy szám kerülhet, mert ha valahol van két ugyan olyan maradékot adó szám, akkor azok különbsége osztható lesz 15-tel.

Ha egy 1 maradékot adó számot beválasztunk a számaink közé, akkor 14-et maradékot adót már nem választhatunk, mert ezek összege 15-tel osztható. És fordítva: ha 14-t adó maradákos számot választunk, akkor az 1-t zárjuk ki.

Hasonlóan a 2-13, 3-12, 4-11, 5-10, 6-9, 7-8 kölcsönösen kizárják egymást.

A 0 viszont mindtől függetlenül választható, mert két szám egyik tagjának választva, akár a különbség, akár az összeg esetén a 15-tel való oszthatóság maradékát a másik szám fogja meghatározni.

Így összesen pontosan 7 szám választható a megadott feltételekhez.

Az elgondolás ua., mint az előző megoldás, csak egy kicsit részleteztem.