Hogyan kell bebizonyítani, hogy ha nEZ+, akkor az (5n+6) / (8n+7) törtet ha lehet egyszerűsíteni, akkor csak 13mal lehet?

A törtet akkor lehet egyszerűsíteni, ha 1-nél nagyobb közös osztója a nevezőnek és a számlálónak. Jelöljük a legnagyobb közös osztójukat d-vel.

Ekkor d osztója (5n+6)-nak, tehát a 8-szorosának is, azaz 8*(5n+6)=40n+48-nek is osztója lesz a d.

Továbbá d osztója (8n+7)-nek is, ezért az 5-szörösének, 5*(8n+7)=40n+35-nek is osztója lesz.

Tehát d osztója (40n+48)-nak is, és (40n+35)-nek is, azaz a különbségüknek is, ami épp 13. Mivel 13 prím, az osztói 1 és 13, ezért d>1 csak úgy lehet, ha d=13, azaz a törtet 13-mal lehet egyszerűsíteni, amikor egyáltalán lehet.