MATEK! Mértani sorozatok; segítenél megoldani?

Úgy írtam itt le, ahogy végigszámoltam, de a kiindulás nem volt szerencsés, amire később jöttem rá. Akit érdekel (mert azért érdekes szerintem) az olvassa végig, de aki fél, hogy bonyolult lesz, és inkább az egyszerűbb végleges megoldás érdekli csak, az menjen el a - - - - - sor utánra.

Az egyik (k-adik) középső lépéskor legyen induláskor benne a(k) liter alkohol (és 20-a(k) liter víz).

Kiöntünk 1 litert, vagyis az 1/20 részét, marad benne a(k)·19/20 liter alkohol.

Hozzáadunk 1 liter alkoholt:

a(k+1) = a(k)·19/20 + 1

Ez egy inhomogén rekurzív sorozat (a +1 miatt), nem simán mértani.

Kiinduláskor tiszta vizünk van, vagyis a(0) = 0

A feladat a(15)-öt kérdezi.

Próbáljuk zárt (nem rekurzív) alakra hozni. Az állandó 19/20-dal való szorzás miatt annak a hatványai szerepelni fognak a végén, úgyhogy keressük a megoldását ilyen alakban:

a(k) = b·(19/20)^k + c

Mivel a(0) = 0, ezért c = -b kell legyen. [(19/20)^0 = 1 miatt]

a(k) = b·(19/20)^k - b

a(k+1) = a(k)·19/20 + 1 = b·(19/20)^(k+1) - b·19/20 + 1

= b·(19/20)^(k+1) - (19b-20)/20

Akkor lesz jó alakú, ha a vége pont b:

(19b-20)/20 = b

19b-20 = 20b

b = -20

Vagyis ez a zárt alak:

a(k) = 20 - 20·(19/20)^k

Az, hogy a 20-ból ki van vonva egy k-adik hatványos dolog, azt mutatja, hogy nem szerencsésen indultam el a megoldásban. Nem az alkoholt (a(k)) kellett volna számolni, hanem a vizet (20-a(k)).

- - - - - - - - - -

Annak ellenére, hogy a feladat az alkohol mennyiségét kérdezi, számoljunk inkább a vízzel.

Az egyik (k-adik) középső lépéskor legyen induláskor benne v(k) liter víz (és 20-v(k) liter alkohol).

Kiöntünk 1 liter folyadékot, vagyis az 1/20 részét, marad benne v(k)·19/20 liter víz.

Hozzáadunk 1 liter alkoholt. Ez nem módosítja a víz mennyiségét. Vagyis:

v(k+1) = v(k)·19/20

Ez egy q=19/20 hányadosú mértani sorozat.

Kezdetben van 20 liter víz, tehát v(0) = 20.

A 15. lépés után:

v(15) = 20·(19/20)^15

Ennyi víz marad benne. Alkoholból tehát ennyi lesz:

a(15) = 20 - 20·(19/20)^15