Mit jelent itt a Q (10^)?

Q a racionális számok gyűrűje. Q(gyök10) az a legszűkebb gyűrű, ami tartalmazza a racionális számokat, és a gyöktizet, vagyis az a legkisebb halmaz, ami tartalmazza az összes racionálist, és zárt az összeadásra, valamint a szorzásra. És ez nem más mint az a + b gyök10 alakú számok halmaza, ahol a és b racionális. AZ összes ilyen szám benne kell, hogy legyen Q(gyök10)-ben, hiszen a eleme Q-nak, b gyöktíz nyilván eleme Q(gyök10)-nek, tehát ezek összege is eleme kell, hogy legyen Q(gyök10)-nek. De ezen számok halmaza zárt is az összeadásra, szorzásra:

1) (a + b gyök10) + (c + d gyök10) = (a+c) + (b+d)gyök10

2) (a + b gyök10)(c + d gyök10) = (ac+10bd)+(ad+bc)gyök10

a+c, b+d, ac+10bd, ad+bc racionálisak, mert a racionális számok zártak a szorzásra és az összeadásra (és tíz racionális szám)

Mivel gyöktíz és az összes racionális is a + b gyöktíz alakú, a bizonyítást befejeztük.