Jó matekosok! Csak 3 példa!?

Egy ~ reláció ekvivalenciareláció az A halmazon, ha 3 dolog teljesül:

- reflexív, vagyis a~a minden a ∈ A-ra.

- szimmetrikus, vagyis ha a~b akkor b~a minden a,b ∈ A-ra

- tranzitív, vagyis ha a~b és b~c, akkor a~c (minden a,b,c ∈ A-ra)

Párhuzamosság:

a)

- önmagával minden párhuzamos, tehát reflexív, OK

- ha a párhuzamos b-vel akkor b is párhuzamos a-val, tehát szimmetrikus, OK

- ha a párhuzamos b-vel és b párhuzamos c-vel, akkor a is párhuzamos c-vel, tehát tranzitív, OK

b) Egy ekvivalenciaosztályba tartoznak a valamely egyenessel párhuzamos egyenesek.

13. biztos megy ez alapján. (Egyébként nem ekvivalenciareláció)

14. Itt a reláció az A={a;b;c} háromelemű halmazon van értelmezve. Maga a reláció pl. a "kisebb-vagy-egyenlő", de sok más is lehet. Az R halmaz elemei rendezett párok, ez a halmaz mondja meg, hogy mi mivel áll relációban. Ha most (csak a magyarázat kedvéért) feltételeznénk, hogy tényleg a "kisebb-vagy-egyenlő" az R reláció, akkor az R halmazból ezt lehet leolvasni:

a ≤ a

a ≤ b

a ≤ c

Mostantól ezt a kisebb-egyenlőt felejtsd el, csak példának hoztam fel. Inkább Ÿ jellel jelölöm mostantól ezt a relációt, tehát aŸa, aŸb és aŸc vannak relációban.

a) reflexív, vagyis xŸx minden x∈A-nál. Ehhez hozzá kell adni a (b;b) valamint (c;c) párokat az R halmazhoz, ugyanis az A halmaz mindhárom eleme relációban kell álljon önmagával.

b) szimmetrikus, vagyis ha xŸy, akkor yŸx szintén teljesül. Ehhez hozzá kell még adni a (b;a) és (c;a) párokat. Ugye érted, hogy miért?

Hát a gyk.hu simán kidobta a jól kigondolt "registered" relációjelemet (R betű karikában). Akkor jelölöm inkább ezt a relációt is ezzel: ~

A szöveg vége pedig ez:

Mostantól ezt a kisebb-egyenlőt felejtsd el, csak példának hoztam fel. Inkább ~ jellel jelölöm mostantól ezt a relációt, tehát a~a, a~b és a~c vannak relációban.

a) reflexív, vagyis x~x minden x∈A-nál. Ehhez hozzá kell adni a (b;b) valamint (c;c) párokat az R halmazhoz, ugyanis az A halmaz mindhárom eleme relációban kell álljon önmagával.

b) szimmetrikus, vagyis ha x~y, akkor y~x szintén teljesül. Ehhez hozzá kell még adni a (b;a) és (c;a) párokat. Ugye érted, hogy miért?

Önmagával minden egyenes párhuzamos?

A párhuzamosság definíciója úgy szól, hogy két egyenes párhuzamos egymással, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk.

Ha egy egyenes önmagával vett párhuzamosságát nézem, akkor minden pontjuk megegyezik.

Valóban teljesül tehát a reflexív tulajdonság?