Ez hogyan jött ki neki? 1^3+2^3+. +k^3+ (k+1) ^3= (1+2+. +k+ (k+1) ) ^2

((i=1..k)Σ i)² = (i=1..k) Σ(i³)

Teljes indukcióval:

k = 1 esetén igaz, mert 1² = 1³

Nem muszáj, de nézzük k=2-re is:

(1+2)² = 9

1³+2³ = 9

ez is egyforma.

Feltételezzük, hogy k=n-re is igaz. Vagyis:

((i=1..n)Σ i)² = (i=1..n) Σ(i³)

n+1-re:

((i=1..n+1)Σ i)² = (((i=1..n)Σi) + (n+1))²

(a+b)² nevezetes szorzat miatt:

= ((i=1..n)Σi)² + 2·((i=1..n)Σi)·(n+1) + (n+1)²

Az első tag az indukciós feltétel miatt = (i=1..n) Σ(i³)

Marad ez: 2·((i=1..n)Σi)·(n+1) + (n+1)²

Erről kellene belátni, hogy = (n+1)³

Tudjuk, hogy (i=1..n)Σi = n(n+1)/2

2·n(n+1)/2·(n+1) + (n+1)² = n(n+1)² + (n+1)²

= (n+1)(n+1)² = (n+1)³