Hogyan kell megoldani? Mi az a Span és mi a L?

Span (a1, a2, a3) az a 3 vektor által kifeszített tér.

a1=e1+2e2+3e4,

a2=e1-e2+e3+e4,

a3=-e1+e2+e3+e4,

b= 4e1+5e2+3e3+122e4

Ha eg tudod oldani az a1*x+a2*y+a3*z=b egyenletet, akkor benne van, ha nem oldhaó meg, akkor nincs benne.

Ehhez az is elég, hogy a 4 vektorból összerakott mátrix determinánsa 0 legyen.

Ki lehet direkt is számolni meg eliminációval is, talán az eliminációt kisebb eséllyel számolom el:

det (1, 2, 0, 3

1, -1, 1, 1

-1, 1, 1, 1

4,5,3,122) =

=det (1, 2, 0, 3

1, -1, 1, 1

0, 0, 2, 2

4,5,3,122) =

=det (1, 2, 0, 3

0, -3, 1, -2

0, 0, 2, 2

4,5,3,122) =

=det (1, 2, 0, 3

0, -3, 3, 0

0, 0, 2, 2

4,5,3,122) =

=6*det (1, 2, 0, 3

0, -1, 1, 0

0, 0, 1, 1

4,5,3,122) =

=6*det (1, 2, 0, 3

0, -1, 1, 0

0, 0, 1, 1

4,0,8,122) =

=6*det (1, 2, 0, 3

0, -1, 1, 0

0, 0, 1, 1

4,0,0,114) =

=6*det (1, 0, 2, 3

0, -1, 1, 0

0, 0, 1, 1

4,0,0,114) =

=6*det (1, 0, 0, 1

0, -1, 1, 0

0, 0, 1, 1

4,0,0,114) =

=6*det (1, 0, 0, 1

0, -1, 1, 0

0, 0, 1, 1

0,0,0,110) =

=-660

vagyis nem 0, tehát b∉ Span(a1,a2,a3)

Pl a1, a2, a3 az bázis lesz, ha ortonormált bázist akarsz vagy normáltat, akkor alakítani kell rajta.

Mondjuk normált bázis lesz:

a1/√14 , a2/√4, a3/√4

(a gyökjel alatt a komponensek négyzetösszege áll)

1 1 -1 | 4

2 -1 1 | 5

0 1 1 | 3

3 1 1 | 122

Ez az induló tábla, először cseréld a3-at és e3-at, az jó lesz szerintem.

Nincs időm a folytatást leírni, bocs...

Nem volt szó az első kérdésről, hogy L-e. Szerintem ez azt akarja jelenteni, hogy lineárisan független-e?

Bázistranszformációt így túl hosszú lenne leírni, olvasd el mondjuk itt:

[link]

Az eredménye most ez:

[link]

- Csillaggal jelöltem a generáló elemet, amit választottam. Ha lehetett, olyan elemet választottam, aminek az értéke 1, hogy ne kelljen törtekkel számolni.

- A generáló elem oszlopa helyébe nem tettem be a bázist, elhagytam. Most nem volt ugyanis szükség arra, hogy a lecserélt bázisban mi az eredeti bázis felírása.

- Végig lehetett generáló elemet választani, tehát a három vektor lineárisan független. (Ha lineárisan függő lenne valamelyik, akkor valamikor az összes még le nem cserélt sorban 0 jött volna ki, ezért nem lehetett volna generáló elemet választani tovább.)

Második kérdés: b eleme-e Span(a1, a2, a3)-nak.

BKRS jól írta #2-ben, hogy milyen lineáris egyenletrendszert kell megoldani. #7-ben vurugya béla felírta az egyenletrendszer mátrixát. Ezt is báziscserével kell bizonyára megoldani.

Folytatom vurugya béla válaszát, csak éppen nem azt a generáló elemet választottam, amit ő javasolt, hanem ugyanazt, mint amit az előző válaszomban is.

Egy másik gyk.hu kérdésből, ahol scannelve volt a feladat, látszik, hogy nem 122, hanem csak 12 az e4 együtthatója b-nél, én úgy számoltam. Ha mégis 122 lenne, akkor persze más jön ki. Ellenőrizd, jól másoltad-e.

Itt van az eredmény:

[link]

Az előzőhöz képest bekerült a b oszlop, és annak az elemei is persze módosultak a báziscserék szerint.

A végén csak az e4 nem lett lecserélve, de annak az együtthatója 0 lett, vagyis kifejezhető b a1, a2, a3 lineáris kombinációjaként:

b = 3·a1 + 2·a2 + a3

(figyelj, hogy a1, a3, a2 volt felülről lefelé a sorrend a csere eredményeként)

Tehát a válasz igen.

A harmadik kérdésre BKRS már válaszolt #3-ban, nem vetted észre: B={a1, a2, a3} egy bázisa Span(a1, a2, a3)-nak.