Háromszög oldalai 12,13,17 cm. Mekkora a súlyvonalak hossza?

A jelölések értelmezéséhez egy ábra

[link]

Remélem, így könnyen megtalálod az előző válaszoló által említett háromszöget (ABA')

- Ebből a Sa súlyvonalra felírható a koszinusz tétel

- a képletben előforduló cosß az eredeti háromszögből számítható

- Behelyettesítve a súlyvonal képletébe megvan egy súlyvonal: Sa

A többit hasonlóképp lehet meghatározni.

**************************************************

De ha kevesebbet akarsz számolni, egy kis algebrai segédlettel egyszerűsíthető a megoldás.

Maradjunk az Sa kiszámításánál.

A koszinusz tétel az Sa súlyvonalra

Sa² = (a/2)² + c² - 2*(a/2)*c*cosß

Beszorzás után

4*Sa² = a² + 4*c² - 4ac*cosß

A cosß az eredeti háromszögből

cosß = (a² + c² - b²)/2ac

Ha ezt behelyettesíted az Sa képletébe, egyszerűsítés, összevonás és rendezés után a

4*Sa² = 2(b² + c²) - a²

összefüggést kapod, amiben csak a kiinduló adatok vannak, és nem kell külön a szöget is számolni.

Ennek mintájára mindegyik súlyvonalra felírható egy hasonló képlet

4*Sb² = 2(a² + c²) - b²

és

4Sc² = 2(a² + b²) - c²

A rajzon ábrázoltam az eredeti háromszög A' pontra tükrözött képét is. Nem véletlenül.

Látható, hogy egy paralelogramma keletkezett, amire alkalmazható az a tétel, hogy a paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalak négyzetösszegével.

A paralelogramma egyik átlója a súlyvonal kétszerese (2*Sa), a másik a súlyvonal talpponti oldala (a), az oldalai pedig az eredeti háromszög másik két oldala.

A tétel szerint

(2*Sa)² + a² = 2(b² + c²)

Ezt átrendezve

(2*Sa)² = 2(b² + c²) - a²

ill

4*Sa² = 2(b² + c²) - a²

Ugyanaz a képlet, amit fentebb a koszinusz tétel kétszeri alkalmazásával kaptunk.

Még valami.

Ha a súlyvonalakra fentebb felírt képleket

4*Sa² = 2(b² + c²) - a²

4*Sb² = 2(a² + c²) - b²

4Sc² = 2(a² + b²) - c²

összeadod, akkor azt kapod, hogy

4(Sa² + Sb² + Sc²) = 3(a² + b² + c²)

ill

Sa² + Sb² + Sc² = (3/4)*(a² + b² + c²)

A jobb oldalon egy állandó mennyiség szerepel, vagyis, ha két súlyvonal már ismert, a harmadikat - pontosabban a négyzetét - egyszerű kivonással megkaphatod.

Ha valami nem világos, jöhetnek a kérdések. :-)

DeeDee

**********