Hogy kell megoldani?

Polinomosztással és a nevező szorzattá alakításával az integrálandó függvény:

2x^2-x+(x+1)/((x-1)*(x^2+1))

Az elejét integrálni könnyű, a törtet meg parciális törtekre kell bontani:

(x+1)/((x-1)*(x^2+1))=A/(x-1)+(Bx+C)/(x^2+1)

Ha a jobboldalt közös nevezőre hozod, akkor a két oldal számlálója meg kell egyezzen:

x+1=(A+B)*x^2 + Cx + (A-B-C)

Ebből adódik ez a kis egyenletrendszer:

A+B=0

C=1

A-B-C=1

Megoldva és visszahelyettesítve:

(x+1)/((x-1)*(x^2+1))=1/(x-1)+(-x+1)/(x^2+1)

Az első tört integrálja ln|x-1|

A másodikat tovább bontom:

(-x+1)/(x^2+1)=-0,5*(2x/(x^2+1)) + 1/(x^2+1)

Ennek integrálja: -0,5*ln|x^2+1| + arctgx

és az egész végére biggyeszd ezt: +c

:)