Hogyan kell az alábbi feladatot megoldani? |x^2-4x-5|+|x-2|=7

Alaphelyzetben 4 eset van:

1. mindkét abszolútértékben levő kifejezés >=0

2. az első >=0 és a másik negatív

3. az első negatív és a másik >=0

4. mindkettő negatív.

Mind a 4 esetre ki kell számolni, hogy ezek a feltételek mely x-ekre teljesülnek (ez egy-egy tartomány lesz), valamint meg kell oldani az egyenletet a 4 esetnek megfelelően. Például a 4. esetben mindkét absz. érték negatív, tehát úgy lehet eltüntetni az abszolútérték-jeleket, hogy mindkettőben levő kifejezés -1-szeresét vesszük.

Aztán még meg kell nézni, hogy az eredmény benne van-e abban a tartományban, amelyet fentebb meghatároztunk. Ha igen, akkor az egy megoldás lesz.

Az előbb egy hasonló feladatot végig írtam valakinek:

[link]

Neked az első válaszoló leírta, hogyan kellene számolni, és ellenőrzéshez küldöm a feladat grafikus megoldását:

[link]

Ezt az egyenlőtlenséget kell megoldani először:

x^2-4x-5 >= 0

A két gyököt kiszámoltad, és egy-két egyéb szám behelyettesítésével kijön, hogy x<=-1 vagy x>=5-re teljesül az egyenlőtlenség. (pl. valahol a két gyök között pl. x=0-nál -1 az érték, és mivel ez egy másodfokú fv. /parabola/ ezért az x tengellyel való metszéspontok (gyökök) másik oldalán lesz pozitív a függvényérték. Fel is lehet rajzolni, úgy könnyebb látni.)

Aztán a másik abszolútértékes kifejezésre is meg kell oldani az egyenlőtlenséget:

x-2 >= 0

Ebből x>=2.

Ezek alapján az 1. esetre ez két feltétel van:

x<=-1 vagy x>=5,

valamint

x>=2

Mindkettőnek teljesülnie kell egyszerre, ez pedig akkor van, ha x>=5, tehát ebben a tartományban keressük majd a megoldást.

Most az eredeti egyenletben felbontjuk az abszolútértéket (mindkét absz.értékben levő kifejezés >=0, ezért nem kell a -1-szeresét venni):

x^2-4x-5+x-2=7

Erre is kijön két gyök, de a jó megoldás csak az, amelyik >=5, mert ez volt a feltétel.

Aztán a 2. esetben azzal számolunk, hogy a második absz.értékes kifejezés negatív. Ekkor a feltételek:

(x<=-1 vagy x>=5) és x<2

Ez pedig akkor teljesül, ha x<=-1, ezért ez lesz a tartomány.

Felbontjuk az abszolútérték-zárójeleket, de itt az abszolútérték-képzés a -1-szeresét veszi a második kifejezésnek, mert az negatív. Ezért az egyenlet:

x^2-4x-5-x+2=7

Erre is lesz 2 megoldás, de csak az lesz jó, amelyik <=-1.

3. esetben a feltétel:

(x>-1 és x<5) és x>=2 -> a tartomány: 2<=x<5

Az egyenlet:

-x^2+4x+5+x-2=7

4. eset:

(x>-1 és x<5) és x<2 -> a tartomány: -1<x<2

Az egyenlet:

-x^2+4x+5-x+2=7

Kicsit hosszadalmas, de ez ilyen.