Segítene valaki? (SIN. TÉTEL) Fontos!

Amit tudni kell a feladathoz: a parallelogramma átlói felezik egymást. Ha behúzzuk a két átlót, akkor azok fele és az egyik oldal háromszöget alkot.

Minden háromszögre igaz, hogy ha az a oldallal szemben az alfa szög, a b oldallal szemben a béta szög és a c oldallal szemben a gamma szög van, és a<=b<=c, akkor alfa<=béta<=gamma.

Tudnunk kell még azt is, hogy egy háromszögben a belső szögek összege: alfa+béta+gamma=180°

El kell döntenünk, hogy a feladatban a hosszabb vagy a rövidebb átlót adták-e meg. Ha a hosszabbik átlót adták meg, akkor a másik átló hosszának fele biztosan kisebb 10-nél. Ez azt jelenti, hogy a háromszögben a leghosszabb oldal a 15, amivel szemben a 40° áll. Mivel ez a legnagyobb szög, ezért a többi biztosan kisebb 40°-nál, vagyis a három szög összege kevesebb, mint 120 fok. Ellentmondásra jutottunk, vagyis a rövidebbik átló a 20 cm.

Ha már ezt tudjuk, akkor kiszámolható a másik átló fele. Ezt a szinusztétellel meg tudjuk csinálni, a szinusztétel képlete: a/b=sin(alfa)/sin(béta). Ez a háromszög bármelyik oldalára igaz, azt viszont meg kell jegyeznünk, hogy ez a tétel akkor használható egyértelműen, ha a leghosszabb oldallal szemközti szög meg van adva. Ha nincs, de tudjuk, hogy melyik a leghosszabb oldal, akkor ezt és az ezzel szemközti szöget békén hagyjuk, a másik két oldallal és a hozzá tartozó szögekkel foglalkozunk. A háromszögön belül ez lesz a párosítás, amit használni fogunk a szinusztételben:

a=15 cm-hez tartozik az alfa=40°

Az ismert átló feléhez, azaz b=10 cm-hez tartozik a béta szög.

A képletbe behelyettesítünk:

15/10=(sin40°)/sin(béta)

Egyenletrendezés után:

sin(béta)=10(sin40°)/15=0,4285

sin40° értékét, valamint a sin(béta)=0,4285-öt a függvénytáblával vagy számológéppel tudod megoldani.

az egyenlet megoldása: béta=25,37°

Erre igaz az, hogy 15>10 és 40°>25,37°. Ez a szög a hosszabbik átló és a 15 cm-es oldal hajlásszöge.

Mivel ismerjük a háromszög két szögét, ezekből meghatározható a harmadik, mivel tudjuk, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180°

A hiányzó szög: 180°-40°-25,37°=114,63°

Ugyanerre a háromszögre felírható újra a szinusztétel, hogy meghatározzuk a másik átló felét. Nevezzük el a kérdéses oldalt x-nek, ekkor a képlet szerint a=x b=15 béta=40°. Megjegyzésként ideírom, hogy a másik oldal-szög páros is használható. Ekkor: x/15=(sin114,63°)/sin(40°) Ebből x=21,21 cm.

Ezek alapján remélem sikerül kiszámolni a parallelogramma másik oldalát. Azt a háromszöget kell nézni, aminek az egyik oldala 15 cm, másik oldala 20 cm, a két oldal hajlásszöge 114,63°, az ezzel a szöggel szemközti oldal lesz a keresett oldal.

A parallelogramma területe: a*b*sin(közbezárt szög). Itt a és b a parallelogramma oldalai.

Remélem tudtam segíteni.