Hogyan kell ezt igazolni: x1^2/a1 + x2^2/a2 ≥ (x1+x2) ^2/a1 + a2, bármely a, b∈ (0, ∞)?

a végén az a1 és a2 is a nevezőben van?

az a és b az ugyanaz mint az a1 és a2?

Legyen akkor mondjuk x és y az indexezés helyett:

x²/a + y²/b ≥ (x+y)²/(a+b)

Elegendő bizonyítani, hogy r>0 esetén:

x²/(ar) + y²/(br) ≥ (x+y)²/(ar+br)

Vagyis elegendő belátni, hogy minden r>0 esetén az

x²/(ar) + y²/(br) = 1 ellipszis pontjain igaz az egeynlőtlenség.

Elég tehát az x²/A+ y²/B=1 ellipszist vizsgalni, és ennek a pontjaira bizonyítani, hogy

(x+y)²≤ A+B

Ellispszisen vagyunk vagyis

x=√A*cos(t); y=√B*sin(t)

(x+y)² = (√A*cos(t) +√B*sin(t))² = [√(A+B)sin(t+atan(√A/√B))]² ≤√(A+B)²=A+B

(a második egyenlőség adíciós tételekkel látszik)