Adjuk meg az összes olyan c eleme R paraméter értékét, amelyre az alábbi egyenletrendszernek nincs megoldása: 2x +y=3 10x+cy=15 Mi a megoldás?

Koordináta-geometriát tanultál már?

Két egyenesnek mikor nincs metszéspontja? Ha párhuzamos.

Milyen c-nél párhuzamosak?

Ha még nem tanultál ilyet, akkor egy egyszerűbb megoldás:

Nincs megoldásuk, ha a két egyenlet nem független, vagyis az elsőt megszorozva valamivel, éppen a másodikat kapjuk.

Na mennyivel szorozzuk meg? 2 -ből lesz 10, 3-ből 15, akkor c . . ?

Az előző jól gondolkodott, csak rossz eredményre jutott.

Ha két egyenes párhuzamos, akkor általában nincs metszéspontjuk.

De most, akkor párhuzamos, ha c=5

és

2x+y=3 és 10x+5y=15 -nél a két egyenes egy és ugyanaz, vagyis végtelen sok közös pont van.

Ha az egyetlet rendszer két egyenlete nem független, akkor VÉGTELEN sok megoldás van, és nem 0.

"Mechanikusan" megoldva a feladatot:

Első egyenletből: y=3-2x beírva a másikba

10x+c*(3-2x)=15

10x+3c-2cx=15

x*(10-2c)=15-3c

Ha c nem 5, akkor oszthatunk 10-2c-vel és x-re mindig kapunk egy racionális megoldást.

Ha c=5, akkor

x*0=15-15=0

0=0 azonosság

Vagyis

Ha c nem 5, akkor egyetlen x érték van, ami kielégíti az egyenletrendszert, és ahhoz egyetlen y érték tartozik.

Ha c 5, akkor minden valós x kielégíti az egyetlenrendszert. (Végtelen sok megoldás van.)

Olyan tehát sosincs, hogy ennek ne lenne megoldása.

---------------

Pl a

2x+y=3

10x+cy=8

Esetén a c=5 tényleg azt jelentené, hogy nincs megoldás, mert itt a két egyenes valóban párhuzamos, de nem esnek egybe.