Hogyan kell megoldani az alábbi feladatokat? Lineáris algebra.

1.) A megadott vektorhalmaz egy sík, azaz 2-dimenziós. Az ortogonális komplementerét keressük, ami így 3-2=1 dimenziós. Ez csak egy egyenes lehet, tehát elég egy darab vektort megadni, ami merőleges a síkra, mert az már meghatározza az egyenest. Ehhez pedig jó az a módszer, hogy vesszük a sík két különböző irányú vektorát, modjuk (1,-1,0) és (0,-1,1), és ezek vektoriális szorzata lesz a keresett vektor, ami kell az egyeneshez. Ez a (-1,-1,-1), tehát a keresett altér (egyenes):

U=[(-1,-1,-1)]={(x,y,z): x=y=z}.

2.) Lin leképezés képterének dimenziója a mátrixának a rangja. (Mindegy melyik bázsban írjuk fel a mátrixát.) A mátrix rangja jelen esetben 2.

3.) A mátrixot a vektorral megszorozva lesz egy (!!oszlop!!)vektor, ami (1+2c,c+8). Ha x a vektorhoz tartozó sajátérték, akkor a definíció alaján (1+2c,c+8)=(x,2x). Két egyenlet, két ismeretlen, megoldjuk: c=2, x=5.

Megvan a mátrix, így könnyen kiszámítható a másik sajátértéke, ami 0. A nullához pedig a (a+2b,2a+4b)=(0,0) egyenletrendszert megoldáshalmaza lesz a 0-hoz tartozó sajátaltér, melynek tetszőleges eleme lesz a keresett v vektor. Például v=(a,b)=(2,-1).

Egy még egyszerűbb megoldás:

1.) A feladat szerint az x+y+z=0 egyenletű síkra merőleges vektorokat keressük. Ez minden olyan vektor, amely a sík normálvektorénak számszorosa, azaz szám*(1,1,1).

2.) Valóban, ahogy az előttem szóló is mondta: a mátrix rangja 2, ezt pl. Gauss-eliminációval is megkaphatod.

3.) Mivel valós szimmetrikus mátrixok lineárisan független sajátvektorai merőlegesek egymásra, így keresni kell egy a megadott vekorra merőleges vektort. 2D vektorok esetén ez egyszerű: két komponens helyet cserél majd egyik szorzódik (-1)-gyel: v=(-2,1) vagy v=(2,-1).