Hány négyzetcentiméter az 5*5-ös négyzetrácson látható négyzetek területeinek összege, ha az 1*1-es négyzet területe 1 négyzetcentiméter és miért?

Hmm... Most ez a feladat vagy olyan egyszerű, hogy nem értem, miért is kérdés egyáltalán; vagy csak egyszerűnek tűnik, de olyan bonyolult, hogy gőzöm nincs a megoldásról...

Ha az első, akkor:

1*1 egység --> 1 cm^2

5*5 egység --> x cm^2

x = 25 cm^2

(Mivel mindkét oldal az 5-szörösére nőtt, így a terület a 25-szörösére.)

Ha ennél bonyolultabb, akkor passz... Majd remélhetőleg jön valaki okosabb. :)

Hát kár, sajnálom. :(

A másik lehetőség, amire gondoltam időközben, hogy tegnap elszúrtam, mert az ötösnek alapon 25 cm^2 a területe, így ha ebből van 25 darab, akkor az 25 * 25 cm^2, azaz 625 cm^2. Így már jó? :)

Ha nem, akkor is írd le a megoldást, légy szíves, ha kiderül. :)

Tetszik a feladat!

A lényeg: hány darab, különböző nagyságú négyzetet lehet kijelölni egy adott területen belül.

Vagyis ki kell számolni az 1x1, 2x2, 3x3, 4x4 és 5x5 nagyságú négyzetek darabszámát, ezt meg kell szorozni az elemenkénti területtel, majd ezeket össszegezve kapjuk a megoldást.

Legyen

N = 5 - alapnégyzet oldalhossza

a - a kiválasztott elem - axa nagyságú négyzet oldala (a: 1 -> N)

n(a) - a kiválasztott elem darabszáma

T(a) - a kiválasztott elemek területe

Tö - az összterület

Egy elem darabszáma

Érdemes egy négyzetrácsot felrajzolni a könnyebb megértéshez

Jelölj ki a négyzetrács bal felső sarkában egy axa nagyságú négyzetet.

Ezt a négyzetet egyesével (N - a)-szor lehet jobbra léptetni a négyzetrács jobb oldalának eléréséig.

Ha ehhez a számhoz hozzáadod a kezdeti 1 pozíciót, akkor megvan a lehetséges vízszintes pozíciók száma, vagyis

Pv(a) = N - a + 1

Mivel négyzetrácsról van szó, függőlegesen is ugyanennyi pozíció létezik, vagyis

Pf(a) = Pv(a)

ezért az összes pozíciók száma, azaz a kiválasztott elem darabszáma

n(a) = Pv(a)*Pf(a)

n(a) = (N - a + 1)²

Az n(a) számú elem területét úgy kapjuk, hogy az elemek számát megszorozzuk az elem területével:

T(a) = n(a)*a²

behelyettesítve az n(a) értékét

T(a) = (N - a + 1)²*a²

ill

T(a) = [(N - a + 1)*a]²

Ezeket összegezve megkapjuk az összes lehetséges elem területét, vagyis:

N

Tö = Σ [(N - a + 1)*a]²

a=1

================

Ha elcsúszna a szöveg, másképp írva a képletet:

Tö = Szumma(a=1 -> N)[(N - a + 1)*a]²

=============================

Megjegyzés:

Ez alapján lehet általánosítani a feladatot MxN nagyságú rácsra is.

Ennek a megoldása

N

Tö = Σ (M - a + 1)(N - a + 1)*a²

a=1

**************************

Akkor próbáljuk ki az elméletet a példa adataival.

A feladat szerint

N = 5

Az egyes elemek darabszáma

n(1) = (5 - 1 + 1)² = 5² = 25

n(2) = (5 - 2 + 1)² = 4² = 16

n(3) = (5 - 3 + 1)² = 3² = 9

n(4) = (5 - 4 + 1)² = 2² = 4

n(5) = (5 - 5 + 1)² = 1² = 1

A területek

T(a ) = n(a)*a²

T(1) = 25*1² = 25

T(2) = 16*2² = 64

T(3) = 9*3² = 81

T(4) = 4*4² = 64

T(5) = 1*5² = 25

Ezek összege adja a keresett területet

Tö = 25 + 64 + 81 + 64 + 25

Tö = 259

========

Így lesz az eredmény az általad megadott érték. :-)

Remélem, érthető volt a gondolatmenet, ha nem kérdezz nyugodtan.

DeeDee

**********

Itt is köszönöm a segítségedet, DeeDee. :)

Látod, tudtam én, kihez kell fordulni. ;)