Megoldható a következő egyenlőtlenség log ( (x-1) / (x+2) ) > 0?

Igen, hogy a logaritmus értelmes maradjon, ahhoz ki kell kötni, hogy a tört pozitív, azaz vagy x-1 és x-2 is nagyobb mint 0, vagy mind a kettő kisebb mint 0, tehát

x > 1 vagy x < -2.

Másrészt y logaritmusa akkor nagyobb 0-nál, ha y > 1 is teljesül, jelen esetben

(x-1)/(x+2) > 1 (!!)

(x-1)/(x+2) - 1 = (x-1 - (x+2))/(x+2) = (-3)/(x+2) > 0

Mivel a számláló negatív, ezért a tört akkor lesz nagyobb, mint nulla, ha a nevező is az.

x+2 < 0,

x < -2.

Összevetve a kikötéssel ez csak akkor teljesül, ha x < -2.

Ennyi a levezetés. A (!!)-jeles résznél arra kell figyelni, hogy változót tartalmazó kifejezés lehet negatív és pozitív is, nem tudod, hogy megfordul-e az egyenlőtlenség, ha szorzol vele. Ezt kerülhetjük el azzal, ha egyszerűen egy oldalra rendezünk mindent, kivonni, összeadni mindig szabad.

Ezt át lehet írni így:

log ( (x-1) / (x+2) ) > log 1

Mivel log szigorúan monoton növekszik, ezért ez az egyenlőtlenség akkor és csak akkor igaz ha a paramatérekre is ugyanez igaz.

(x-1) / (x+2) > 1

Ez pedig

-3 / (x+2) > 0

Ami akkor igaz ha x < -2.

Persze a feltételeket is vizsgálni kell.

x=/=-2

x-1/x+2 > 0

De mindkettőnek megfelel a megoldás