Hogyan bizonyithato hogy: 2 + 2012/2 + 2011/2^2 + 2010/2^3 + . + 3/2^2010 + 2/2^2011 = 2013?

Sejtésem szerint tovább általánosítható a feladat:

4*(1003/3 + 1002/3^2 + 1001/3^3 + ... + 3/3^1001 + +2/2^1002) = 2013. Sz. Gy.

1+9*(665/4 + 664/4^2 + 663/4^3 + ... + 3/4^663 +2/4^664) = 2013.

2+16*(495/5 + 494/4^2 + 493/4^3 + ... + 3/4^493 + +2/494^2) = 2013. stb. Sz. Gy.

Ez elejéről a 2-t felejtsük el, a többinek 2011-nek kell lennie.

A többit hozzuk közös nevezőre, ami 2^2011. A számlálóra hátulról visszafelé ez a szumma írható fel:

2011

   Σ    (k+1)·2^(k-1)

 k=1

Erről kellene belátni, hogy ez 2011·2^2011. Vagy általánosságban ha n-ig megy a szumma, akkor:

  n

  Σ (k+1)·2^(k-1)   =   n·2^n

k=1

Ezt be lehet látni direktben is, meg teljes indukcióval is.

Teljes indukcióval a rövidebb a bizonyítás:

n = 1-re: 2·2^0 = 2, ami tényleg 1·2^1

n = 2-re: 2·2^0 + 3·2^1 = 8, ami tényleg 2·2^2 (ezt nem is lett volna már muszáj kiszámolni...)

Tegyük fel, hogy k=1-től n-ig a fenti szumma értéke valóban n·2^n

k=n+1-re pedig a szumma kibővül ezzel a taggal: (n+2)·2^n, vagyis ez lesz:

n·2^n + (n+2)·2^n = (2n+2)·2^n = (n+1)·2^(n+1)

Kész.

---

Direktben: ez kicsit bonyolultabb:

Nekünk tehát ez a szumma kell:

    Σ (k+1)·2^(k-1)    [1-től n-ig megy a szummázás]

ami kettébontható arra, hogy

    Σ 2^(k-1) + Σ k·2^(k-1)

A második szumma pedig így írható fel dupla szummaként: (a k-val való szorzást ismételt összeadásra alakítva)

  n      n

  Σ     Σ     2^(k-1)

j=1  k=j

Felhasználva a mértani sor összegképlete alapján ezt:

   n

   Σ 2^(k-1) = 2^n - 2^(j-1)

 k=j

az előző dupla szummából ez lesz: (itt j=1-től n-ig megy minden szumma)

  Σ(2^n - 2^(j-1)) = Σ 2^n - Σ 2^(j-1) = n·2^n - (2^n - 1)

Ehhez még hozzá kell adni Σ 2^(k-1)-et (k=1-től n-ig), ami persze szintén 2^n-1.

Kijött tehát az n·2^n, amit bizonyítani akartunk.