Mik a tulajdonságai a következő függvénynek? f (x) = x3+9/2x2-30x

Egy hasonló kérdés megválaszolásához készítettem ezt a dinamikus munkalapot:

[link]

Ez alapján biztosan menni fog.

Ha nem deriválással akarod/tudod megoldani, akkor ezt ajánlom:

[link]

Értelmezési tartomány:

Mindenhol értelmezve van, tehát ℝ

Értékkészlet:

Nem tudom, ezt kell-e? Látszik, hogy a függvény folytonos (mert x³, x² és x is folytonos, ezért ezek lineáris kombinációja is folytonos), határértéke pedig -∞-ben -∞, +∞-ben pedig +∞, tehát az értékkészlete is ℝ. (Ha tényleg kell a határérték, ahhoz azért ennél kicsit többet kell írni...)

Zérushelyek:

x³ + 9/2·x² - 30x = x(x² + 9/2·x - 30)

Vagyis x₁ = 0 a zérushely, és még van 2 másik is, számold ki a másodfokú kifejezésből a megoldóképlettel.

Lokális szélsőértékek:

A fv. deriváltja 3x² + 9x - 30

A megoldóképlettel számold ki, hogy ez mikor nulla. Ha két érték lesz, akkor az mindkettő lokális szélsőérték, ha csak egy, akkor pedig inflexiós pont.

Most kettő lesz, tehát az egyik maximum, a másik meg minimum. A deriváltban az x² együtthatója pozitív, ezért a derivált parabolája felfelé nyitott, vagyis a derivált előjele balról jobbra: pozitív, negatív, pozitív. Ez azt jelenti, hogy a kisebbik lokális szélsőérték maximum, a nagyobbik meg minimum.

Menet:

Ugyanemiatt (mármint a deriált előjele miatt) a maximum előtt a fűggvény szig.mon,növekvő, a két szélsőérték között szig.mon.csökkenő, utána megint szig.mon,növekvő.