2 szám szorzata miért egyenlő, az adott 2 szám legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének szorzatával?

Vedd a prímfelbontását a két számnak. Minden prímtényező valahányszor szerepel az egyik és a másik számban is (ez a valahányszor lehet 0 is). A legnagyobb közös többszörösben (LNKO) minden prím annyiadik hatványa van meg, amennyi még mindkét számban megvan, azaz az LNKO prímfelbontásában a prímek kitevője pont a minimuma lesz annak, hogy az adott prím hányadik hatványa van meg az egyik ill. másik számban. A legkisebb közös többszörösnél (LKKT) a prímfelbontásnál a prímek akkora hatványon vannak, hogy az mindkét szorzótényező prímfelbontásában kisebb egyenlő legyen ennél (különben nem osztanánk az LKKT), azaz az LKKT prímfelbontásánál az egyes prímek kitevője pont a két szorzótényező prímfelbontásában szereplő kitevők maximuma. Most ha összeszorzod az LKKT-t és LNKOt, akkor a szorzat prímfelbontásban minden prímtényező kitevője a szorzótényezők prímfelbontásában szereplő kitevők minimumának és maximumának összege, de ha két szám minimumát és maximumát összeadod,az pont ugyanaz, mintha a két számot adnád össze (két számból az egyik a minimum,a másik a maximum). Tehát az LNKO és LKKT szorzatának prímfelbontása pont ugyanaz lesz, mint az két eredeti szám szorzata.

Konkrét példában:

32=2^5, 48=3*2^4

=> az LNKO=2^min{4,5}*3^(0,1)=2^4; LKKT=2^max{4,5}*3^max{0,1}= 2^5*3;

LNKO*LKKT=(2^4)*(2^5*3)=(2^5)*(2^4*3)=32*48