1/2 faktoriálisát hogy kell kiszámolni?

Jól írtad, x^(1/2)e^(-x) integrálja (az első válaszoló a Γ(1/2)-et írta, pedig Γ(3/2)-ről van most szó).

Amennyire én tudom, az integrált nem lehet szokásos módszerekkel megoldani, de nem vagyok igazán otthon a témában. A gamma függvényről viszont tudunk néhány dolgot:

x! = Γ(x+1)

Euler tükrözési formulája:

Γ(x)·Γ(1-x) = π/sin(πx)

Ennek az egyik egyszerű következménye az, hogy Γ(1/2) = √π

Ezt érdemes megjegyezni. Ezzel lehet a kérdésedhez hasonlókat kiszámolni:

Tudjuk azt, hogy:

Γ(x+1) = x·Γ(x)

(ez a kapcsolat a Γ függvény és az egész faktoriális között, hisz a sima faktoriálisnak is ez a rekurzív definíciója.)

Vagyis 1/2! = Γ(1+1/2) = 1/2·Γ(1/2) = √π/2

---

Általánosabban is felírható:

Γ(1/2 + n) = √π·(2n)!/(4^n·n!)

Γ(1/2 − n) = √π·(-4)^n·n!/(2n)!