Határozzátok meg annak a növekvő mértani sorozatnak a hányadosát, amelynek első, második és negyedik tagja számtani sorozatot képez?

Legyenek

a1, a2, a3, ... - a számtani

m1, m2, m3, ... - a mértani sor tagjai.

A feladat szerint

a1 = m1

a2 = m2 = m1*q

a3 = m4 = m1*q³

A számtani sorra érvényes, hogy

(a1 + a3)/2 = a2

ill

a1 + a3 = 2*a2

A mértani sor elemeit behelyettesítve

m1 + m1*q³ = 2*m1*q

Egyszerűsítés után marad

1 + q³ = 2q

átrendezve

q³ - 2q + 1 = 0

Mindkét oldalhoz q²-et hozzáadva lesz

q³ + q² - 2q + 1 = q²

Átrendezve

q³ - q² + (q² - 2q + 1) = 0

A zárójelben teljes négyzet van, az első két tagból q²-et kiemelve

q²(q - 1) + (q - 1)² = 0

kiemelés után

(q - 1)(q ² + q - 1) = 0

A bal oldali szorzat első tényezőjéből

q1 = 1

=====

A másik tényező másodfokú egyenletének két gyöke

q2 = (√5 - 1)/2

===========

q3 = -(√5 + 1)/2

============

Ezzel megvan mind a három gyök, ahogy az egy jól nevelt harmadfokú egyenlethez illik. :-)

DeeDee

**********