Egy korbol egy AB hurral levagott szegmensbe beirunk egy kisebb kort. Ez a kis kor a nagy kort egy M pontban, a hurt egy N pontban metszi. Az alabbi kerdesre tudnal valaszolni?

Ismered az inverzió nevű geometriai transzformációt? Ha igen, akkor én azt alkalmaznám.

Válasszuk az inverzió alapkörének az A középpontú, B-t tartalmazó kört.

Ekkor az AB egyenes (továbbiakban: e) önmagába megy át, és a B pont képe önmaga, N képe pedig valamilyen N' pont ezen az egyenesen. A nagy kör egy f' egyenesbe megy át, amely illeszkedik B-re. Erre az egyenesre illeszkednek az M és P pontok képei, M' és P'. A kis kör képe pedig egy olyan k' kör, ami az AB egyenest N'-ben, a BP' egyenest M'-ben érinti. Az M,N,P pontok egyenesének képe pedig olyan l' kör, amely átmegy az A ponton, tehát az A, P', M', N' pontok egy körön vannak.

Ekkor a k' és az l' kör középpontja egyaránt M'N' felezőmerőlegesén van, ami az érintés miatt éppen az e és f' egyenesek szögének felezője. A szelőtétel miatt

BA*BN'=BM'*BP',

itt BN'=BM' (hiszen a külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlőek), így

BA=BP'. Tehát a BAP' háromszög is egyenlő szárú, ezért hasonló a BN'M' háromszöghöz. Ebből következik, hogy AP' párhuzamos N'M'-vel. Ezért AP' szintén merőleges az e és f' egyenesek szögének felezőjére.

Tehát azt kaptuk, hogy P' úgy kapható meg, hogy az e és f' egyenesek szögének felezőjére merőlegest állítunk A-ból, és ennek vesszük az f'-vel vett metszéspontját.

Ez független az érintő kis kör megválasztásától, csak az e és f' egyenesektől függ, amik éppen az előre rögzített kör illetve húr inverzei.

Ha pedig P' független a kis kör megválasztásától, akkor az inverze, vagyis P is.

Annyit azért beírhattál volna, hogy a középpontos hasonlóságról tanultok, akkor esetleg olyan megoldást kapsz amit hatodikos szinten használni is tudsz.

Húzz az AB szakasszal párhuzamos érintőt a nagyobbik körhöz, mégpedig a P pont felőli oldalon. Legyen ennek a neve e. A nagy körrel alkotott érintési pontja legyen Q.

Ekkor az M pontból nagyítással megkapjuk a kis körből a nagyot,

ez a nagyítás az AB egyenest az e egyenesbe viszi,

ezért a metszetűket is egymásba viszi, vagyis az N pont képe Q.

Ha viszont az N pont képe Q, akkor Az MNQ egy egyenesen van, hiszen az M a nagyítás központja.

Tehát P≡Q.

Viszont a Q az független a beírt kör választásától.