Polinomos kérdésre, egész egyűtthatós polinomfőegyütthatóját kéne megbecsülni. (? )

Írjuk fel az f(x) a gyökeivel szorzat alakban, azzal könnyebb számolni ha tudjuk merre vannak a gyökök:

Legyen a főegyüttható "a".

f(x) = a(x-x1)(x-x2)...(x-xn)

Itt az x1, x2, ... xn gyökök közt lehet egyenlő, de nem mind egyenlő.

Mivel minden gyök a (0,1) nyílt intervallumon van, ezért az intervallum végpontjaiban nem lehet a polinom értéke 0.

Mivel a polinom egész együtthatós, ezért minden egész helyettesítési értéknél a polinom értéke is egész.

|f(0)| ≥ 1

|f(1)| ≥ 1

|f(0)| = |a|x1*x2*x3*...*xn

|f(1)| = |a|(1-x1)(1-x2)...(1-xn)

1 ≤ |f(0)*f(1)| = a²*x1(1-x1)*x2(1-x2)*x3(1-x3)*...*xn(1-xn)

x(1-x) ≤ 1/4 ha x∈(0,1) és az egyenlőség csak x=1/2-nél áll fenn. Ezt a számtani mértani egyenlőtlenségből kaphatod meg vagy az y=x(1-x) parabola geometriájából.

Mivel nem minden gyök egyenlő, ezért néhány gyök esetén biztosan határozott egyenlőtlenség áll fenn.

1 ≤ |f(0)*f(1)| = a²*x1(1-x1)*x2(1-x2)*x3(1-x3)*...*xn(1-xn) < a²*(1/4)^n

1<a²*(1/4)^n

4^n<a²

2^n < |a|