Az alábbi diffegyenletet hogyan kell levezetni? Y'+2y/cosx= (1-sinx) /cosx

Na ez vmi elég komoly lehet, mert a válasz elég hurkául néz ki:

y(x) = c1*e^A(X)-2 log[-tan^2(x/4)-

2*tan(x/4)+1]*e^A(x)+2*log[sec^2(x/4)]*e^A(x)

ahol A(X)=-4/(tanh((tan(x/2)))

A levezetés esélytelen részemről, de bejelöltem a kérdést, ha vki esetleg mégis...

Itt a WolframAlpha nem használható jól, elég ronda eredményt ad, mint az első válaszból is látszik.

A lineáris inhomogén diff.egyenlet homogén párja:

y' + (2/cosx)·y = 0

Ennek megoldása:

dy/dx = (-2/cosx)·y

dy/y = (-2/cosx)dx

∫1/y dy = ∫(-2/cosx)dx

ln|y| = ∫(-2/cosx)dx

A -2/cosx-nek az integrálja:

∫-2/cosx dx = ∫-2cosx/(1-sin²x) dx

u = sinx helyettesítéssel: (du = cosx·dx)

∫-2/(1-u²)du = ∫-2/((1+u)(1−u)) du

résztörtekre bontva:

∫-1/(1+u) - 1/(1−u) du = -ln|1+u| + ln|1-u| + C = ln|(1-u)/(1+u)| + C

ln|y| = ln|(1-sinx)/(1+sinx)| + C

A homogén általános megoldás tehát:

y = c·(1-sinx)/(1+sinx)

(Ezt fel lehet írni inverz tanh-val is, mint ahogy a Wolfram csinálta, de szerintem nem érdemes. Mellesleg az első válaszban nem -4/tanh van, hanem -4·inverz tanh. Csak a Wolfram Alpha az angol szokások szerint írja az inverz függvényt, -1 felső indexszel, amit mi könnyen reciproknak olvashatunk ki. Bizonyára ez történt az első válaszban is.)

Az inhomogén diff.egyenlet egy partikuláris megoldását

y = c(x)·(1-sinx)/(1+sinx)

alakban keressük.

(1-sinx)/(1+sinx) deriváltja: [-cosx(1+sinx)-(1-sinx)cosx]/(1+sinx)² = -2cosx/(1+sinx)²

Így a c(x)-szeresének a deriváltja:

y' = c'(x)·(1-sinx)/(1+sinx) - 2c(x)·cosx/(1+sinx)²

Könnyen látszik, hogy (1-sinx)/(1+sinx) = (1-sin²x)/(1+sinx)² = cos²x/(1+sinx)²

Néha majd az (1-sinx)/(1+sinx), néha pedig a cos²x/(1+sinx)² formát használom.

A teljes egyenlet tehát:

y' + 2/cosx · y = (1-sinx)/cosx

c'(x)·(1-sinx)/(1+sinx) - 2c(x)·cosx/(1+sinx)² + 2/cosx · c(x)·cos²x/(1+sinx)² = (1-sinx)/cosx

A második és harmadik tag éppen kiejti egymást.

c'(x)·(1-sinx)/(1+sinx) = (1-sinx)/cosx

c'(x) = (1+sinx)/cosx = 1/cosx + tgx

Ilyesmi integrálok már az előbb is voltak:

∫ 1/cosx dx = 1/2·ln((1+sinx)/(1-sinx)) + C = 1/2·ln((1+sinx)²/cos²x) + C = ln|(1+sinx)/cosx| + C

∫ tgx dx = - ln|cosx| + C

c(x) = ln|(1+sinx)/cosx|- ln|cosx| + C

c(x) = ln|(1+sinx)/cos²x| + C

A diff.egyenlet általános megoldása a homogén általános és az inhomogén partikuláris megoldás összege:

y(x) = C·(1-sinx)/(1+sinx) + ln|(1+sinx)/cos²x| ·(1-sinx)/(1+sinx)

y(x) = ln|C·(1+sinx)/cos²x| ·(1-sinx)/(1+sinx)

... remélem, nem számoltam el...

Az integrálszorzó módszerrel egy lépésben is meg lehet csinálni. A módszer maga ez:

y' + f(x)·y = g(x)

Legyen a h(x) függvény ez:

h(x) = e^( ∫ f(x) dx )

Könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a deriváltja: h' = h·f

Ha ezzel a h függvénnyel beszorozzuk az egyenletet:

y'·h + h·f·y = h·g

y'·h + h'·y = h·g

(y·h)' = h·g

Ezt pedig már könnyű megoldani, csak integrálni, aztán osztani kell.

y = ∫ h·g dx / h

Jelenleg f(x) = 2/cosx

Ennek az integrálja a #2 válaszhoz hasonló módon:

∫ f(x) dx = ln|(1+sinx)/(1-sinx)|

(A konstans tag nem érdekes, csak a primitív függvény)

h(x) = (1+sinx)/(1-sinx)

h·g = (1+sinx)/(1-sinx) · (1-sinx)/cosx

h·g = (1+sinx)/cosx

∫ h·g dx = ∫ 1/cosx dx + ∫ tgx dx

Ez is kijött már #2-ben:

= ln|(1+sinx)/cos²x| + c

= ln|C·(1+sinx)/cos²x|

Ezt kell még osztani h(x)-szel, hogy megkapjuk y-t:

y = ln|C·(1+sinx)/cos²x|·(1-sinx)/(1+sinx)

Így is ugyanaz jött ki.

Egyébként ezt lehet kicsit egyszerűbb alakra is hozni, ha cos²x=1-sin²x=(1-sinx)(1+sinx) után egyszerűsítünk:

y = ln|C/(1-sinx)|·(1-sinx)/(1+sinx)

Na ezek tök jók.

Az első változatban a homogén egyenlet megoldása megvolt, de aztán megijedtem a bonyolult megoldástól...