Tudjuk, hogy d olyan természetes szám, hogy ha egy n természets szám osztható d-vel, akkor n számjegyeiből álló bármely más permutációval nyert szám is osztható d-vel. Mi lehet d 1,3 és 9-en kívül?

Mondjuk d egy k jegyű szám.

Ekkor biztosan lesz egy olyan k+2 jegyű szám, ami 10-zel kezdődik, ami osztható d-vel:

10a1a2...ak, itt az a1, a2,... ak esetén a számok csak indexek.

A feltétel szerint az is osztható lesz d-vel ha a 10-et a végére tesszük,

meg az is ha a 10-et 01 sorrendben tesszük a végére.

Mivel mindkét szám osztható 10-zel, ezért ezek különbsége is.

A különbség 9, tehát d osztója 9-nek.

Vagyis akkor 1,3 vagy 9 lehet csak.

Itt a "végére tesszük" ha esetleg nem érthető tisztáznám kicsit;

a számjegyek közé itt _ jelet teszek.

Tehát a k+2 jegyű 10-zel kezdődő számok közt lesz egy ami osztható a k jegyű d-vel, legyen ez:

1_0_a1_a2_..._ak

Ekkor a köbvetkező számok is oszthatók d-vel:

a1_a2_..._ak_1_0

a1_a2_..._ak_0_1

vondd ki az elsőből a másodikat, minden számjegy kiesik, a végén gyakorlatilag 10-1=9 marad.

Ez algebrailag is kiszámolható, gyakorlatilag itt arról van szó, hogy egy 10^(k+1)+n alakú szám osztható lesz d-vel, ahol n egy k jegyű szam.

Ekkor a feltételek szerint 100n+10 és 100n+1 is osztható lesz d-vel,

így a különbségük is, ami (100n+10)-(100n+1)=9

Na így gondolom mar teljes a kép.