Ellenőrízd, hogy (2-x1) (2-x2) (2-x3) =13?

Jelentem, ellenőriztem:

[link]

Egyéb kérdés van?

Így is ki lehet számolni:

[link]

Ezt jobban megérted?

Igazolandó, hogy ha

f(x) = x³ + 3x² - 3x - 1

akkor ennek gyökeire fennáll a

(2 - x1)(2 - x2)(2 - x3) = 13

azonosság

Egy nevezetes azonosságot felhasználva

(x - 1)³ = x³ - 3x² + 3x - 1

f(x) + (x - 1)³ = 2x³ - 2 = 2(x³ - 1)

Egy másik nevezetes azonosságot bevetve

x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)

Ezzel

f(x) + (x - 1)³ = 2(x - 1)(x² + x + 1)

Ebből

f(x) = 2(x - 1)(x² + x + 1) - (x - 1)³

Kiemelés után

f(x) = (x - 1)[2(x² + x + 1) - (x - 1)²]

A zárójelben összevonva lesz

f(x) = (x - 1)(x² + 4x + 1)

Az első tagból az első gyök

x1 = 1

A második tagban levő másodfokú egyenlet gyökei

x2 = -(2 - √3)

x3 = -(2 + √3)

Ezeket behelyettesítve az igazolandó összefüggésbe

(2 - 1)( 2 + 2 - √3)(2 + 2 + √3) = (4 - √3)(4 + √3) = 16 - 3 = 13

vagyis igaz az azonosság.

DeeDee

**********

Zsiga megelőzött. :-)

DeeDee

*******

Egy Vieta-képletes megoldás:

x³ + 3x² - 3x - 1 =(x-x1)(x-x2)(x-x3)=

= x³ -(x1+x+x3)x² +(x1*x2 +x1*x3+x2*x3)x -x1*x2*x3

Vagyis:

(x1+x+x3)= -3

(x1*x2 +x1*x3+x2*x3)=-3

x1*x2*x3 = 1

(2 - x1)(2 - x2)(2 - x3) =

= -x1*x2*x3 + 2(x1*x2 +x1*x3+x2*x3) - 4(x1+x2+x3) + 8 =

Vieta képletek szerint

= -1 + 2*(-3) - 4*(-3) + 8 = 13

sajthiba:

(x1+x2+x3)= -3