Trigonometrikus bizonyítás?

Tekintsük az egyenlet két oldalát két függvénynek, és legyen:

f1=2x + x∙cos(x) és f2=3∙sin(x)

Azonnal látható, hogy x=0-ban metszi egymást a két görbe.

Nézzük meg a medekségüket (m1 és m2), egy tetszőleges x>0 pontban, ehhez deriválunk:

m1=df1/dx=2+cos(x)-x*sin(x); ill.: m2=df2/dx=3*cos(x);

Most vizsgáljuk meg a görbületeket is (G1 és G2), ezeket a második deriváltak adják:

G1=-2*sin(x)-x*cos(x); il.: G2=-3*sin(x);

Amint látható, azonos irányba görbülnek, így elég azt belátnunk, hogy G1/G2<1.

Osztás után: G1/G2=(2/3)+(x/(3tg(x)))

Ahol az x/3tgx fv. maximuma 1/3 mégpedig az x=0 helyen, ezt egyszerű deriválással beláthatjuk.

Tehát a

G1/G2 hányados maximuma is 1.

Ez pedig azt jelenti, hogy az eredeti egyenlőtlenség valóban igaz.