Megválasztható-e a, b és c értéke úgy, hogy (x+a) ^2 + (2x+b) ^2+ (2x+c) ^2= (3x+1) ^2 azonosság legyen?

(x+a) ^2 + (2x+b) ^2+ (2x+c) ^2= (3x+1) ^2

x^2 + 2ax + a^2 + 4x^2 + 4bx + b^2 + 4x^2 + 4cx + c^2 = 9x^2 + 6x + 1

9x^2 + 2x(a + 2b + 2c) + a^2 + b^2 + c^2 = 9x^2 + 6x + 1

"=" <==> a + 2b + 2c = 3, és a^2 + b^2 + c^2 = 1

a + 2b + 2c = 3

a^2 + b^2 + c^2 = 1

-------------------

...

...

...

...

"=" <==> a + 2b + 2c = 3, és a^2 + b^2 + c^2 = 1

a^2 + b^2 + c^2 = 1 ==> |a|, |b|, |c| =< 1 (kisebb-egyenlő)

a + 2b + 2c = 3 ==> a, b, és c közül legfeljebb egyik lehet 0. Megmutatjuk, hogy egyik sem:

- Tegyük fel, hogy a = 0. Ekkor b^2 + c^2 = 1 és 2b + 2c = 3. A c = (3-2b)/2-at beírva az első egyenletbe: b^2 + (9 - 12b + 4b^2)/4 = 1. Rendezve: 8b^2 - 12b + 5 = 0, ami sosem teljesül

- Tegyük fel, hogy b = 0. Ekkor a^2 + c^2 = 1 és a + 2c = 3. Az a-t kifejezve az első egyenlet: 5c^2 - 12c + 8 = 0, ami szintén nem teljesül

- Tegyük fel, hogy c = 0, ekkor 5b^2 - 12b + 8 = 0, ami megint csak nem teljesül.

Tehát a, b, és c közül egyik sem lehet 0, amiből adódik, hogy |a|, |b|, |c| < 1.

b és c pozitív, mert a + 2b + 2c = 3, és ha pl. b negatív, akkor a + 2c < 3 önmagában, ami még inkább kisebb, ha egy negatív számot hozzáadunk; a lehet negatív.

b + c > 1, mert a + 2(b + c) = 3, és |a| < 1

a = 3 - 2b - 2c, a^2 = 9 + 4b^2 + 4c^2 - 12b - 12c + 8bc

(9 + 4b^2 + 4c^2 - 12b - 12c + 8bc) + b^2 + c^2 = 1

5b^2 - 12b + 5c^2 - 12c + 8bc + 8 = 0

8(bc + 1) = b(12 - 5b) + c(12 - 5c)

0 < b, c < 1 ==> 12 - 5b > 12 - 5 = 7,

hasonlóan: 12 - 5c > 7,

továbbá 8(bc + 1) > 8(0 + 1) = 8,

az utolsó egyenletben

a jobb oldal nagyobb, mint 7b + 7c = 7(b+c) > 7, mert b+c > 1

a bal oldal nagyobb, mint 8.

Ha sikerülne megmutatni, hogy a jobb oldal minden esetben nagyobb 8-nál is, vagy éppen azt, hogy 8-nál sohasem lesz nagyobb, akkor készen vagyunk.

A jobb oldal akkor lesz nagyobb 8-nál, ha b+c > 8/7.

Ha ez teljesül, akkor az a + 2b + 2c = 3 egyenletből:

3 = a + 2(b + c) > a + 16/7 ==> a < 5/7

Ha -5/7 < a < 5/7 ==> a^2 < 25/49

1= a^2 + b^2 + c^2 < 25/49 + b^2 + c^2 ==> 24/49 < b^2 + c^2

12b - 5b^2 + 12c - 5c^2 = 12b + 12c - (5b^2 + 5c^2) > 12b + 12c - 24/49 = 12(b+c) - 24/49 > 12(8/7) - 24/49 = (12*8*7-24)/49 > 13

Tehát a jobb oldal minden esetben nagyobb 8-nál is ==> megválasztható a, b és c értéke úgy, hogy (x+a)^2 + (2x+b)^2+ (2x+c)^2 = (3x+1)^2 azonosság legyen. //

Szívesen. És hajrá!!!!

Vigyázz, mert a megoldás hiányos! Az

1- < a < -5/7

eset vizsgálatához már nem volt kedvem az este. Ha abba köt bele a gyakvez., akkor mondjad neki, hogy azt még külön át kell gondolni, de a kérdés már így is megválaszolható: "meg lehet választani a, b és c értékét úgy, hogy..."

(A bal alsó // árulkodik arról, hogy milyen kapcsolatban állok a matematikával.)

* Jobb alsó //

:)))))