Milyen logikai / algebrai módon bizonyítható be, hogy az euler/exponenciális szám, ami tkp. faktoriálisok reciprokainak összege valóban önmagát fogja deriválni?

Pl. a deriválás definíciója alapján, vagy geometriailag.

A faktoriális dolog meg egyszerűen csak azért van, mert az a Taylor sora, de elég sok fv.-t Taylor sorba lehet fejteni.

deriválás definíciójával:

d/dx(e^x)=lim{[e^(x+h)-e^x]/h} ahol h tart 0-hoz.

Ennek az a vége, hogy e^x.

Itt a lim azt fogja jelenteni, hogy h az 0-hoz tart.

d/dx(e^x)=lim{[e^(x+h)-e^x]/h} =

Akkor most egy kis Jaték a Betükkel:

= lim{[e^x*e^h-e^x]/h} =

=lim{e^x(e^h -1)/h} =

=e^x * lim{(e^h -1)/h} =

=e^x * lim{([(1+h)^(1/h)]^h -1)/h} =

=e^x * lim{(1+ h -1)/h} =

=e^x

És akkor itt csak annyit kellett tudnod, hogy

(1+1/n)^n az e-hez tart, illetve ha x végtelenhez tart, akkor

(1+ 1/x)^x az is e-hez tart

vagyis reiprokokkal

(1+h)^(1/h) az e-hez tart.