Van olyan (a függvényeken értelmezett művelet) amely nem pl. a meredekségét, hanem a hosszát számítja ki a függvénynek 1 bizonyos szakaszon?

[link]

Ha itt a 4.2-es pontra mész, akkor megtalálod, hogyan is lehet a hosszát kiszámítani.

Annyit tennék még hozzá, hogy, amint az ott is látható, ez nem egy olyan speciális művelet, mint a deriválás, hanem több ismert művelet adott képletben való alkalmazása.

Az első már megelőzött a lényegben, tehát bizonyára az ívhosszszámításra gondoltál.

Ez általánosan alkalmazható... De problémásabb része neked - mint utaltak rá - talán az lehet, hogy gyökös kifejezést hogy integráljál - mivel az ilyen behelyettesítésekkel megoldható integrálásokat nem tanítják középiskolában, emelt matekon sem (nálunk legalábbis nem volt).

A Wikipédiásat már az első linkelte. Értelemszerűen : ha tovább akarsz kutatni, próbálkozz a Google keresővel az "integrál" és "ívhosszszámítás" kulcsszavakkal, vagy próbálj meg matektanártól, matekos ismerőstöl, vagy ha tudsz, netről egy (használható) könyvet keresni az integrálásról, ami úgy általánosan tárgyalja a témát. A valamirevaló integrálásról szóló könyvekben általában van egy teljes fejezet az ívhosszszámításról.

Ha könyvben keresel, az egyrészt részletesebben tárgyalja, hogy mit tudsz kezdeni a formulával, másrészről vannak azon kívül is példák gyökös alakú integrandusokra ott.

De mint írtam, ha ezt a formulát használod, minden bizonnyal szükséged lesz még átnézni (ha iskolában nem tanították) a behelyettesítéses integrálást.

Esetleg itt találsz egy angol levezetést a ∫[√(1+u²)] alakú integrálra, bár ehhez meg ismerned kell a szekáns függvényt, meg valamelyest a hiperbolikus függvényeket, hogy jól meg tudd érteni.

Nomeg, ha ez segít, hasonló probléma, itt van a körkerület levezetésének integráltal történő változata, hasonló gyökös integrál az is:

Magyar piszkozat : [link]

Angol : [link]

De szerintem bőven találsz magyarul-angolul egyaránt is bőséges infót a neten ezekről!

Úgyhogy jó önképzést! :)

Lineáris függvény hosszát egy szakaszon Pitagorasz tételle ki tudod számítani.

A többit meg közelítheted lineáris függvényekkel és ezzel közelítheted az ívhosszat.

Ennek a határértéke lesz az az ívhossz számítási képlet amire az első válaszoló is rámutatott a wikipédián.

Ez persze nem mindíg működik.

Pl a kör közelíthető csak függőleges és vízszintes darabokból álló zárt törött vonallal, a közleítő vonal hossza azonban nem közelít a kör hosszához. Vagyis nem mindegy hogy közelíted egyenes szakaszokkal a görbédet.

Ha a töréspontok csak a görbén vannak és a görbe kellően sima (folytonosan deriválható), akkor működik a határértékes manőver.

A deriválás és az integrálás az könnyebben számítható mint az ívhossz, ezért az deriválásból és az integrálásból vezetjük le az ívhossz számítást.

Természetesen ha az ívhossz lenne az egyszerűbb, akkor azt használnánk alapnak.

Az ívhossz hasonlóan az integrálhoz egy intervallum függvény. Szőkefalvi a Valós függvénytan című könyvében foglalkozik ilyesmivel. Ha meg tudod szerezni, az egy nagyon jó tankönyv.

Szőkefalvi -> Valós függvénytan +1 !

Igen, az egy jó tankönyv. Sajnos nekem csak úgymond "belenézni" volt időm, mert nekem nincs meg, de tényleg jól magyaráz. És csak jót hallottam róla.

Az is jó benne, hogy úgymond "Ádámtól és Évától" kezdi a dolgokat. Azaz jobban mondva az alapoktól, legalábbis ahogy emlékszem, az első fejezet a Halmazokról szól, és onnantól mindent részletesen elmond, rendesen.

Úgyhogy meleg szívvel ajánlom én is az előző válaszoló nyomán! :)

Az ívhossz-számításhoz annyit tennék hozzá, hogy a gyök miatt gyakran igen bonyolult, esetleg elemin nem integrálható integrandusok lépnek fel (mint pl. az egyszerű sinus fv. esetén is).

Ezeket általában megkerülheted numerikus integrálással, pl. az ún. Simpson formulával, amikoris az adott ívet parabolaivekkel közelíted meg.

Elég jó pontosság érhető el így, ha a numerikus végeredmény a kérdéses, akkor ez a módszer igen jó, és nem kell akár egész furfangos helyettesítéseket csinálni.