Alfa hajlásszögű lejtőre helyezett m tömegű, R sugarú henger legelső pontjára rögzítettünk egy m tömegű kicsiny ólomgolyót. Indulás pillanatában mennyi a test szöggyorsulása? ábra: kepfeltoltes.hu/view/131006/IMAG1584_www.kepfeltoltes.hu_. Jpg

Az ábra linkjébe beraktál néhány elírást, miért nem a böngésző címsorából másoltad ki? Ez a link:

[link]

Ha jól értem, súrlódás nincs, a henger el fog pördülni, nem pedig gördül. A "legelső pont", ahol a kis golyó van, az az ábrából úgy látszik, hogy az a pont, ahol a henger középpontján átmenő, a lejtő síkjával párhuzamos egyenes metszi a henger felületét.

Írjuk fel a forgatónyomatékokat a henger középpontjára. Egyetlen egy erő van, ami nem megy keresztül a középponton: a kis golyó súlya. Annak érintőirányú (a lejtőre merőleges) komponense m·g·cos α, így a forgatónyomaték:

M = R·m·g·cos α

A test tehetetlenségi nyomatéka (a henger középpontjára felírva) egyrészt a henger másrészt a golyó tehetetlenségi nyomatékának az összege:

Θ = 1/2·m·R² + m·R²

A forgómozgás dinamikájának alapegyenlete szerint:

M = Θ·β

Ebből a szöggyorsulás kijön.

---

Gyakorlatilag nem volt érdekes az, hogy lejtőn van a test. Legalábbis a szöggyorsulás szempontjából. Ez azért van, mert nincs súrlódás, így a henger nem gördül a lejtőn. Ha nem lenne rajta a golyó, akkor egyszerűen lecsúszna. Csak a golyó miatt kezd el forogni.

A lejtő miatt még annyi lenne, hogy az egész test tömegközéppontja (aminek változik a helye a forgás miatt!) gyorsulni fog a súly lejtőirányú komponense miatt. Az bonyolult mozgás lenne, szerencsére nem kérdés.

Ha van súrlódás, vagyis ha gördül a henger, akkor más a helyzet:

Írjuk fel a forgatónyomatékokat a henger és a lejtő érintkezési pontjára:

A henger súlyának lejtővel párhuzamos komponense:

  M₁ = R·m·g·sin α

A henger súlyának lejtőre merőleges komponense átmegy a ponton, nulla a forgatónyomaték.

A golyó súlyának lejtővel párhuzamos komponense:

  M₂ = R·m·g·sin α

A lejtő súlyának lejtőre merőleges komponense:

  M₃ = R·m·g·cos α

A súrlódási erő átmegy a tengelyen, nulla a forgatónyomatéka.

Együtt:

  M = R·m·g·(2 sin α + cos α)

A test tehetetlenségi nyomatéka:

A hengeré:

Ha a súlypontján átmenő tengelyhez képest kellene felírni, akkor 1/2·m·R² lenne. A tengely R-rel van most elcsúsztatva, a Steiner tételt kell használni:

  θ₁ = 1/2·m·R² + m·R²

A golyóé: a golyó és az érintkezési pont távolsága R·√2, ezért

  θ₂ = 2·m·R²

Együtt:

  θ = 7/2·m·R²

M = θ·β

→ β = g·(4 sin α + 2 cos α) / (7R)

A henger szöggyorsulása a középpontja körül is pont ugyanennyi.